宝鸡市2017届三检数学(理科)试题及解析

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宝鸡市2017届三检数学(理科)试题及部分解析。


选择题


1.集合A=\left\{ x | \ln x >0 \right\},集合B = \left\{ x | (x+1)(x-3) \le 0 \right\},则A \cup B =(   )

A.\left\{ x | -1 \le x \le 3 \right\}

B.\left\{ x | 1 < x \le 3 \right\}

C.\left\{ x | e \le x \le 3 \right\}

D.\left\{ x | x \ge 3 \right\}


2.在复平面内,复数z的对应点为(1,1),则z^2 =(   )

A.\sqrt2    B.2i    C.2    D.2+2i


3.设AB为两个同高的几何体,pAB的体积不相等,qAB在等高处的截面积不恒相等。根据祖暅原理“幂势既同,则积不容异”,可知,pq的(   )

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件


4. 已知数列\left\{ a_n \right\}是等差数列,a_7=8,其前10项和S_{10} = 70,则其公差等于(   )

A.-\dfrac23    B.-\dfrac13    C.\dfrac13    D.\dfrac23


5. 设随机变量\xi服从正态分布N(3,4),若P(\xi < 2a-3) = P(\xi > a+2),则a的值为(   )

A.\dfrac53    B.\dfrac73    C.3    D.5


6. 函数y = \dfrac{2x}{\ln |x|}的图像大致为(   )


7. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的外接球的体积为(   )

A.32\sqrt{3} \pi    B.4\sqrt{3} \pi    C.\dfrac{64\sqrt2}{3} \pi    D.\dfrac{8\sqrt2}{3} \pi


8. 人们把《孙子算经》中“今有物不知其数,三三数之余二,五五数之余三,问物几何?”此类题目称为“中国剩余定理”。若正整数N除以正整数m后的余数为n,则记为N = n(\text{mod} m),例如11 = 2(\text{mod} 3)。现执行右图程序框图,则输出的n等于(   )

A.21    B.22    C.23    D.24


9. 我们把各位数字之和等于6的三位数称为“吉祥数”,例如123就是一个“吉祥数”,则这样的“吉祥数”一共有(   )

A.28个    B.21个    C.35个    D.56


10. 双曲线\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1 \,(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F_1F_2,过F_1x轴的垂线交双曲线于AB两点,若\angle AF_2B< \dfrac{\pi}{3},则双曲线离心率的取值范围是(   )

A.(1,\sqrt3)    B.(1,\sqrt6)    C.(1,2\sqrt3)    D.(\sqrt3,3\sqrt3)


11. 已知点P是圆:x^2+y^2 = 4上的动点,点A,B,C是以坐标原点为圆心的单位圆上的动点,且\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = 0,则|\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}|的最大值为(   )

A.5    B.6    C.7    D.8


12. 已知f(x) = x^2 - a \ln x -ax \, (a \ne 0)恰有一个零点,则实数a的取值范围是(   )

A.a<0a = 1    

B.a<0

C.a\ge 1    

D.a<0a \ge 1


填空题


13. 若\left( x^3 + \dfrac{1}{x^2} \right) ^n展开式的各项系数之和为32,则其展开式中的常数项为\underline{\hbox to 10mm{}}


14. 设向量\overrightarrow{OA} = (1,-2)\overrightarrow{OB} = (a,-1)\overrightarrow{OC} = (-b,0),其中O为坐标原点,a>0b>0,若ABC三点共线,则\dfrac{1}{a} + \dfrac{2}{b}的最小值为\underline{\hbox to 10mm{}}


15. 已知a_n = \int_0^n {(2x+1) dx},数列\dfrac{1}{a_n}的前n项和为S_n,则S_{2017}的值等于\underline{\hbox to 10mm{}}


16. 六名同学A、B、C、D、E、F举行象棋比赛,采取单循环赛制,即参加比赛的每两个人之间仅赛一局。第一天,A、B各参加了3局比赛,C、D各参加了4局比赛,E参加了2局比赛,且A与C没有比赛过,B与D也没有比赛过。那么F在第一天参加的比赛局数为\underline{\hbox to 10mm{}}


解答题


17. 已知函数f(x) = 2 \sin x \cos x + 2\sqrt3 \cos ^2 x -\sqrt3

(1) 求函数f(x)的单调减区间;

(2) 已知\triangle ABC中角A,B,C所对的边分别是abc,其中b=2,若锐角A满足f\left( \dfrac{A}{2} - \dfrac{\pi}{6} \right) = \sqrt3,且\dfrac{\pi}{4} \le B \le \dfrac{\pi}{3},求边c的取值范围。


18. 某公司有A,B,C,D,E五辆汽车,其中A、B两辆汽车的车牌尾号均为1,C、D两辆汽车的车牌尾号均为2,E车的车牌尾号为6,已知在非限行日,每辆车可能出车或不出车,A、B、E三辆汽车每天出车的概率均为\dfrac{1}{2},C、D两辆汽车每天出车的概率均为\dfrac{2}{3},且五辆汽车是否出车相互独立。该公司所在地区汽车限行规定如下:

(1) 求该公司在星期一至少有2辆汽车出车的概率;

(2) 设X表示该公司在星期二和星期三两天出车的车辆数之和,求X的分布列及数学期望。


19. 在三棱柱ABC-A_1B_1C_1中,CA=CB,侧面ABB_1A_1是边长为2的正方形,点EF分别在线段AA_1A_1B_1上,且AE = \dfrac12A_1F = \dfrac34CE \bot EFMAB中点。

(1) 证明:EF \bot平面CME

(2) 若CA \bot CB,求直线AC_1与平面CEF所成角的正弦值。


20. 已知椭圆C:\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 \, (a>b>0)的左焦点为F(-\sqrt6, 0)e = \dfrac{\sqrt2}{2}

(1) 求椭圆C的方程;

(2) 如图,设R(x_0,y_0)是椭圆C上一动点,由原点O向圆(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = 4引两条切线,分别交椭圆于点P、Q,若直线OP、OQ的斜率存在,并记为k_1k_2,求证:k_1k_2为定值;

(3) 在(2)的条件下,试问OP^2 + OQ^2是否为定值?若是,求出该值;若不是,说明理由。


21. 已知函数f(x) = \ln (x+1) - \dfrac{x}{a}

(1) 当x \in [0,+\infty)时,y = f(x) + e^x是递增的,求实数a的取值范围;

(2) 过原点分别作y = f(x-1)y = e^x的切线,已知两切线的斜率互为倒数,设切点横坐标分别为x_1x_2。求证:x_1x_2 \in \left( \dfrac{1}{e},1 \right)


选做题


22. 以坐标原点为极点,以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,已知直线l的参数方程为\begin{cases} x = 2+t \cos \alpha \\ y = 2+t \sin \alpha \end{cases}t为参数),曲线C的极坐标方程为\rho = 2 \, \left( \theta \in [0, \pi] \right)

(1) 当\alpha = \dfrac{3\pi}{4}时,在曲线C上求一点D,使得点D到直线l的距离最短,求点D的极坐标;

(2) 设直线l与曲线C有两个不同的交点,求直线l的斜率的取值范围。


23. 已知函数f(x) = |x-a| + |x-3|

(1) 当a=1时,求f(x)的最小值;

(2) 若不等式f(x) \le 3的解集非空,求a的取值范围。


部分试题解析


12. f(x) = x^2 - a \ln x -ax \, (a \ne 0)f'(x) = 2x - \dfrac{a}{x} - 1

(1) 当a<0时,f'(x) > 0f(x) 单调递增。

且当x \to 0^+时,f(x) \to -\infty;当x \to +\infty时,f(x) \to +\infty

故此时f(x)恰有一个零点,满足。

(2) 当a>0时,f''(x) = 2 + \dfrac{a}{x^2} >0,∴f'(x)单调递增。

且当x \to 0^+时,f'(x) \to -\infty;当x \to +\infty时,f'(x) \to +\infty

故此时f'(x)有唯一零点,记为x_0,且f(x_0)f(x)的最小值。

\begin{cases}2x_0 - \dfrac{a}{x_0} - a = 0 \\ x_0^2 - a \ln x_0 - ax_0 = 0 \end{cases}

a = \dfrac{2x_0^2}{x_0 + 1} = \dfrac{x_0^2}{x_0 + \ln x_0},解得x_0 = 1a = 1

综合(1)(2)知:a<0a = 1。选A


16. C、D比赛局数最多,以此为突破口进行分析:

(1) 由于C与A没有比赛过,故C只能与B、D、E、F比赛;

(2) 由于D与B没有比赛过,故D只能与A、C、E、F比赛;

(3) 注意到此时,E已经有2局比赛,故E只能与C、D比赛;

(4) 由于A有3局比赛,且与C、E无比赛,故A只能与B、D、F比赛;

(5) 由于B有3局比赛,且与D、E无比赛,故B只能与A、C、F比赛;

(6) 因此,F有4局比赛,分别是与C、D、A、B。


20. 答案及解析请看:


21. 答案及解析请看:

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