宝鸡市2018届高三一检数学（理科）试题-解答题

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解答题
选做题
参考答案
部分解析

2018年宝鸡市高三教学质量检测（一）数学理科试题——解答题及部分解析。

解答题

17. 已知数列 $\left\{ a_n \right\}$ 前 $n$ 项和为 $S_n$ ，首项为 $a_1$ ，且 $\dfrac12$ ， $a_n$ ， $S_n$ 构成等差数列。

(1) 求数列 $\left\{ a_n \right\}$ 的通项公式；

(2) 数列 $\left\{ b_n \right\}$ 满足 $b_n = \left( \log _2 a_{2n+1} \right) \cdot \left( \log _2 a_{2n+3} \right)$ ，求证： $\dfrac{1}{b_1} + \dfrac{1}{b_2} + \dfrac{1}{b_3} + \cdots \dfrac{1}{b_n} < \dfrac12$ 。

18. 学校为了了解高三学生每天自主学习中国古典文学的时间，随机抽取了高三男生和女生各50名进行问卷调查，其中每天自主学习中国古典文学的时间超过3小时的学生称为“古文迷”，否则称为“非古文迷”，调查结果如表：

(1) 根据表中数据判断能否有60%的把握认为“古文迷”与性别有关？

(2) 先从调查的女生中按分层抽样的方法抽出5人进行理科学习时间的调查，求所抽取的5人中“古文迷”和“非古文迷”的人数；

(3) 现从(2)中所抽取的5人中再随机抽取3人进行体育锻炼时间的调查，记这3人中“古文迷”的人数为 $\xi$ ，求随机变量 $\xi$ 的分布列与数学期望。

参考数据：

参考公式： ${\rm K}^2 = \dfrac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$ ，其中 $n=a+b+c+d$ 。

19. 已知四棱锥 $S-ABCD$ 的底面为平行四边形，且 $SD \bot$ 面 $ABCD$ ， $AB = 2AD = 2SD$ ， $\angle DCB = 60^\circ$ ， $M$ 、 $N$ 分别为 $SB$ 、 $SC$ 中点，过 $MN$ 作平面 $MNPQ$ 分别与线段 $CD$ 、 $AB$ 相交于点 $P$ 、 $Q$ 。

(1) 在图中作出平面 $MNPQ$ ，使面 $MNPQ \parallel$ 面 $SAD$ （不要求证明）；

(2) 若 $\overrightarrow{AQ} = \lambda \overrightarrow{AB}$ ，是否存在实数 $\lambda$ ，使二面角 $M-PQ-B$ 的平面角大小为 $60^\circ$ ？若存在，求出 $\lambda$ 的值，若不存在，请说明理由。

20. 如图所示，已知椭圆 $C$ 的中心在坐标原点，焦点在 $x$ 轴上，离心率等于 $\dfrac{\sqrt3}{2}$ ，它的一个顶点恰好在抛物线 $x^2 = 8y$ 的准线上。

(1) 求抛物线 $C$ 的标准方程；

(2) 点 $P(2,\sqrt3)$ ， $Q(2,-\sqrt3)$ 在椭圆上， $A$ ， $B$ 是椭圆上位于直线 $PQ$ 两侧的动点，当 $A$ ， $B$ 运动时，满足 $\angle APQ = \angle BPQ$ ，试问直线 $AB$ 的斜率是否为定值？请说明理由。

21. 设函数 $f(x) = (x^2-2x)\ln x + \left( a - \dfrac12 \right) x^2 + 2(1-a)x + a$ ， $a \in \mathbb{R}$ 。

(1) 讨论函数 $f(x)$ 的单调性；

(2) 当 $a < -2$ 时，讨论 $f(x)$ 的零点个数。

选做题

22. 平面直角坐标系 $xOy$ 中，曲线 $C$ 的参数方程为 $\begin{cases} x = 3\cos \alpha \\ y = \sin \alpha \end{cases}$ （ $\alpha$ 为参数），在以原点为极点， $x$ 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线 $l$ 的极坐标方程为 $\rho \sin \left( \theta - \dfrac{\pi}{4} \right) = \sqrt2$ 。

(1) 求曲线 $C$ 的普通方程和直线 $l$ 的倾斜角；

(2) 设点 $P(0,2)$ ，直线 $l$ 和曲线 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，求 $|PA| + |PB|$ 。

23. 设函数 $f(x) = |2x - 1|$ 。

(1) 解关于 $x$ 的不等式 $f(2x) \le f(x+1)$ ；

(2) 若实数 $a$ ， $b$ 满足 $a+b = 2$ ，求 $f(a^2) + f(b^2)$ 的最小值。

参考答案

17.(1) $a_n = 2^{n-2}$ ；(2)略。

18.(1) 没有；(2) 3人，2人；(3) 分布列： $E(\xi) = \dfrac95$

19.(1) 略；(2) $\lambda = \dfrac13$ 。

20.(1) $\dfrac{x^2}{16} + \dfrac{y^2}{4} = 1$ ； (2) $k_{AB} = \dfrac{\sqrt3}{6}$ 。

21.(1) 当 $a = 0$ 时， $f(x)$ 在 $(0, +\infty)$ 递增；当 $a>0$ 时， $f(x)$ 在 $\left(0, e^{-a} \right)$ 递增， $\left( e^{-a}, 1 \right)$ 递减， $(1, +\infty)$ 递增；当 $a<0$ 时， $f(x)$ 在 $(0,1)$ 递增，在 $\left( 1, e^{-a} \right)$ 递减，在 $\left( e^{-a}, +\infty \right)$ 递增。

22.(1) $C$ ： $\dfrac{x^2}{9} + y^2 = 1$ ， $l$ 的倾斜角为 $\dfrac{\pi}{4}$ ；(2) $\dfrac{18\sqrt2}{5}$

23.(1) $[0,1]$ (2) $2$

部分解析

21. (1)当 $a = 0$ 时， $f(x)$ 在 $(0, +\infty)$ 递增；当 $a>0$ 时， $f(x)$ 在 $\left(0, e^{-a} \right)$ 递增， $\left( e^{-a}, 1 \right)$ 递减， $(1, +\infty)$ 递增；当 $a<0$ 时， $f(x)$ 在 $(0,1)$ 递增，在 $\left( 1, e^{-a} \right)$ 递减，在 $\left( e^{-a}, +\infty \right)$ 递增。过程略。

(2) 由(1)知，当 $a<-2$ 时， $f(x)$ 在 $(0,1)$ 递增，在 $\left( 1, e^{-a} \right)$ 递减，在 $\left( e^{-a}, +\infty \right)$ 递增。