宝鸡市2018届高三一检数学(理科)试题-解答题

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2018年宝鸡市高三教学质量检测(一)数学理科试题——解答题及部分解析。


解答题


17. 已知数列\left\{ a_n \right\}n项和为S_n,首项为a_1,且\dfrac12a_nS_n构成等差数列。

(1) 求数列\left\{ a_n \right\}的通项公式;

(2) 数列\left\{ b_n \right\}满足b_n = \left( \log _2 a_{2n+1} \right) \cdot \left( \log _2 a_{2n+3} \right),求证:\dfrac{1}{b_1} + \dfrac{1}{b_2} + \dfrac{1}{b_3} + \cdots \dfrac{1}{b_n} < \dfrac12


18. 学校为了了解高三学生每天自主学习中国古典文学的时间,随机抽取了高三男生和女生各50名进行问卷调查,其中每天自主学习中国古典文学的时间超过3小时的学生称为“古文迷”,否则称为“非古文迷”,调查结果如表:

(1) 根据表中数据判断能否有60%的把握认为“古文迷”与性别有关?

(2) 先从调查的女生中按分层抽样的方法抽出5人进行理科学习时间的调查,求所抽取的5人中“古文迷”和“非古文迷”的人数;

(3) 现从(2)中所抽取的5人中再随机抽取3人进行体育锻炼时间的调查,记这3人中“古文迷”的人数为\xi,求随机变量\xi的分布列与数学期望。

参考数据:

参考公式:{\rm K}^2 = \dfrac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)},其中n=a+b+c+d


19. 已知四棱锥S-ABCD的底面为平行四边形,且SD \botABCDAB = 2AD = 2SD\angle DCB = 60^\circMN分别为SBSC中点,过MN作平面MNPQ分别与线段CDAB相交于点PQ

(1) 在图中作出平面MNPQ,使面MNPQ \parallelSAD(不要求证明);

(2) 若\overrightarrow{AQ} = \lambda \overrightarrow{AB},是否存在实数\lambda,使二面角M-PQ-B的平面角大小为60^\circ?若存在,求出\lambda的值,若不存在,请说明理由。


20. 如图所示,已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,离心率等于\dfrac{\sqrt3}{2},它的一个顶点恰好在抛物线x^2 = 8y的准线上。

(1) 求抛物线C的标准方程;

(2) 点P(2,\sqrt3)Q(2,-\sqrt3)在椭圆上,AB是椭圆上位于直线PQ两侧的动点,当AB运动时,满足\angle APQ = \angle BPQ,试问直线AB的斜率是否为定值?请说明理由。


21. 设函数f(x) = (x^2-2x)\ln x + \left( a - \dfrac12 \right) x^2 + 2(1-a)x + aa \in \mathbb{R}

(1) 讨论函数f(x)的单调性;

(2) 当a < -2时,讨论f(x)的零点个数。


选做题


22. 平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为\begin{cases} x = 3\cos \alpha \\ y = \sin \alpha \end{cases}\alpha为参数),在以原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线l的极坐标方程为\rho \sin \left( \theta - \dfrac{\pi}{4} \right) = \sqrt2

(1) 求曲线C的普通方程和直线l的倾斜角;

(2) 设点P(0,2),直线l和曲线C交于AB两点,求|PA| + |PB|


23. 设函数f(x) = |2x - 1|

(1) 解关于x的不等式f(2x) \le f(x+1)

(2) 若实数ab满足a+b = 2,求f(a^2) + f(b^2)的最小值。


参考答案


17.(1) a_n = 2^{n-2};(2)略。

18.(1) 没有;(2) 3人,2人;(3) 分布列: E(\xi) = \dfrac95

19.(1) 略;(2) \lambda = \dfrac13

20.(1) \dfrac{x^2}{16} + \dfrac{y^2}{4} = 1; (2) k_{AB} = \dfrac{\sqrt3}{6}

21.(1) 当a = 0时,f(x)(0, +\infty)递增;当a>0时,f(x)\left(0, e^{-a} \right)递增,\left( e^{-a}, 1 \right)递减,(1, +\infty)递增;当a<0时,f(x)(0,1)递增,在\left( 1, e^{-a} \right)递减,在\left( e^{-a}, +\infty \right)递增。

22.(1) C\dfrac{x^2}{9} + y^2 = 1l的倾斜角为\dfrac{\pi}{4};(2) \dfrac{18\sqrt2}{5}

23.(1) [0,1] (2) 2


部分解析


21. (1)当a = 0时,f(x)(0, +\infty)递增;当a>0时,f(x)\left(0, e^{-a} \right)递增,\left( e^{-a}, 1 \right)递减,(1, +\infty)递增;当a<0时,f(x)(0,1)递增,在\left( 1, e^{-a} \right)递减,在\left( e^{-a}, +\infty \right)递增。过程略。

(2) 由(1)知,当a<-2时,f(x)(0,1)递增,在\left( 1, e^{-a} \right)递减,在\left( e^{-a}, +\infty \right)递增。

f(1) = \dfrac32 > 0f\left( e^{-a} \right) = -\dfrac12 \left( e^{-a} - 2 \right)^2 + a + 2 < 0

显然f(x)\left( 1, e^{-a} \right)上有且只有一个零点。接下来用零点存在定理说明在(0,1)\left( e^{-a}, +\infty \right)上也分别存在一个零点。

① 要使f(x) = (x^2-2x)\ln x + \left( a - \dfrac12 \right) x^2 + 2(1-a)x + a < 0

考虑到\ln x > \dfrac{x-1}{x},则(x^2-2x)\ln x < (x^2-2x) \cdot \dfrac{x-1}{x} = x^2 - 3x + 2

f(x) < \left( a + \dfrac12 \right) x^2 - (2a+1)x + a + 2 < - (2a+1)x + a + 2

- (2a+1)x + a + 2 = 0解得0 < x_1 = \dfrac{a+2}{2a + 1} < \dfrac12

则有f(x_1) < 0,则在(x_1,1)上有且只有一个的零点,则f(x)(0,1)也必然有且只有一个的零点。

② 要使f(x) = (x^2-2x)\ln x + \left( a - \dfrac12 \right) x^2 + 2(1-a)x + a > 0

f(x)整理成:f(x) = \left( \ln x + a - \dfrac12 \right) x^2 + \left( 2 - 2a - 2\ln x \right) x + a

尝试是否存在x使得\begin{cases}\left( \ln x + a - \dfrac12 \right) \ge 0 \\ \left( 2 - 2a - 2\ln x \right) \ge 0 \end{cases}成立。

该不等式组即-a + \dfrac12 \le \ln x \le -a + 1,取\ln x_2 = -a + \dfrac12 显然满足条件,并且x_2 > e^{-a}

此时f(x_2) = x_2 + a > e^{-a} + a > 1 > 0

因此在(e^{-a},x_2)上有且只有一个的零点,则f(x)\left( e^{-a}, +\infty \right)也必然有且只有一个的零点。

综上所述,f(x)共有3个零点。

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