2018年宝鸡市高三教学质量检测(一)数学理科试题——解答题及部分解析。
解答题
17. 已知数列前
项和为
,首项为
,且
,
,
构成等差数列。
(1) 求数列的通项公式;
(2) 数列满足
,求证:
。
18. 学校为了了解高三学生每天自主学习中国古典文学的时间,随机抽取了高三男生和女生各50名进行问卷调查,其中每天自主学习中国古典文学的时间超过3小时的学生称为“古文迷”,否则称为“非古文迷”,调查结果如表:
(1) 根据表中数据判断能否有60%的把握认为“古文迷”与性别有关?
(2) 先从调查的女生中按分层抽样的方法抽出5人进行理科学习时间的调查,求所抽取的5人中“古文迷”和“非古文迷”的人数;
(3) 现从(2)中所抽取的5人中再随机抽取3人进行体育锻炼时间的调查,记这3人中“古文迷”的人数为,求随机变量
的分布列与数学期望。
参考数据:
参考公式:,其中
。
19. 已知四棱锥的底面为平行四边形,且
面
,
,
,
、
分别为
、
中点,过
作平面
分别与线段
、
相交于点
、
。
(1) 在图中作出平面,使面
面
(不要求证明);
(2) 若,是否存在实数
,使二面角
的平面角大小为
?若存在,求出
的值,若不存在,请说明理由。
20. 如图所示,已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在
轴上,离心率等于
,它的一个顶点恰好在抛物线
的准线上。
(1) 求抛物线的标准方程;
(2) 点,
在椭圆上,
,
是椭圆上位于直线
两侧的动点,当
,
运动时,满足
,试问直线
的斜率是否为定值?请说明理由。
21. 设函数,
。
(1) 讨论函数的单调性;
(2) 当时,讨论
的零点个数。
选做题
22. 平面直角坐标系中,曲线
的参数方程为
(
为参数),在以原点为极点,
轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线
的极坐标方程为
。
(1) 求曲线的普通方程和直线
的倾斜角;
(2) 设点,直线
和曲线
交于
,
两点,求
。
23. 设函数。
(1) 解关于的不等式
;
(2) 若实数,
满足
,求
的最小值。
参考答案
17.(1) ;(2)略。
18.(1) 没有;(2) 3人,2人;(3) 分布列:
19.(1) 略;(2) 。
20.(1) ; (2)
。
21.(1) 当时,
在
递增;当
时,
在
递增,
递减,
递增;当
时,
在
递增,在
递减,在
递增。
22.(1) :
,
的倾斜角为
;(2)
23.(1) (2)
部分解析
21. (1)当时,
在
递增;当
时,
在
递增,
递减,
递增;当
时,
在
递增,在
递减,在
递增。过程略。
(2) 由(1)知,当时,
在
递增,在
递减,在
递增。
又,
。
显然在
上有且只有一个零点。接下来用零点存在定理说明在
与
上也分别存在一个零点。
① 要使
考虑到,则
故
令解得
则有,则在
上有且只有一个的零点,则
在
也必然有且只有一个的零点。
② 要使
将整理成:
尝试是否存在使得
成立。
该不等式组即,取
显然满足条件,并且
。
此时
因此在上有且只有一个的零点,则
在
也必然有且只有一个的零点。
综上所述,共有3个零点。