2019年宝鸡市高考模拟检测（一）数学（理科）

文章目录

选择题
填空题
解答题
选考题
参考答案

2019年宝鸡市高考模拟检测（一）数学（理科）试题及部分解析。

选择题

1. 已知集合 $M = \left\{ x | -1 \le x \le \dfrac{2}{3} \right\}$ ， $N = \left\{ x | \log_2 (2x-1) \le 0 \right\}$ ，则 $M \cap \complement_R N =$ （）

$A.[-1,1]$ $B. \left( \dfrac12, \dfrac23 \right]$ $C.\varnothing$ $D.\left[ -1, \dfrac12 \right]$

2. $\dfrac{3+2i}{2-3i} =$ （）

$A. \dfrac{12}{13} + i$ $B. \dfrac{12}{13} - i$ $C. i$ $D. -i$

3. 如图所示，在边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，若向该正方形中随机扔一粒豆子，它落在阴影区域内的概率是 $\dfrac13$ ，则阴影部分的面积是（）

$A. \dfrac23$ $B.2$ $C. \dfrac43$ $D.3$

4. 我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题（意为）：“有一个人要走378里路。第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后恰好达到目的地。”那么，此人第4天和第5天共走路程是（）

$A.24$ 里 $B.36$ 里 $C.48$ 里 $D.60$ 里

5. 实数 $x$ ， $y$ 满足 $\begin{cases} x+y \le 3 \\ x \le y \\ 2x+y \ge 3 \end{cases}$ ，则 $z = \dfrac{y}{x}$ 的取值范围是（）

$A. (1, +\infty)$ $B.[1,+\infty)$ $C. (2, +\infty)$ $D. (0,1)$

6. 现执行如图所示的程序框图，该算法的功能是（）

$A.$ 求两个正数 $a$ ， $b$ 的最小公倍数

$B.$ 判断两个正数 $a$ ， $b$ 是否相等

$C.$ 判断其中一个正数是否能被另一个正数整除

$D.$ 求两个正数 $a$ ， $b$ 的最大公约数

7. $\triangle ABC$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $b = \sqrt7$ ， $c=4$ ， $\cos B = \dfrac34$ ，则 $\triangle ABC$ 的面积等于（）

$A. 3\sqrt7$ $B. \dfrac{3\sqrt7}{2}$ $C. 9$ $D. \dfrac92$

8. 平面直角坐标系 $xOy$ 中，动点 $P$ 与圆 $(x-2)^2 + y^2 = 1$ 上的点最短距离与其到直线 $x = -1$ 的距离相等，则 $P$ 点的轨迹方程是（）

$A. y^2 = 8x$ $B. x^2 = 8y$ $C. y^2 = 4x$ $D. x^2 = 4y$

9. 等差数列 $\left\{ a_n \right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$ ，若公差 $d > 0$ ， $\left( S_8 - S_5 \right) \left( S_9 - S_5 \right) < 0$ ，则（）

$A. a_7 = 0$ $B. |a_7| = |a_8|$ $C. |a_7| > |a_8|$ $D. |a_7| < |a_8|$

10. 已知正三棱柱 $ABC-A_1B_1C_1$ 中， $AB = AA_1 = 2$ ，则异面直线 $AB_1$ 与 $CA_1$ 所成角的余弦值为（）

$A.0$ $B. -\dfrac14$ $C. \dfrac14$ $D. \dfrac12$

11. 已知双曲线 $E$ ： $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1(a>0, b>0)$ ，点 $F$ 为 $E$ 的左焦点，点 $P$ 为 $E$ 上位于第一象限内的点， $P$ 关于原点的对称点为 $Q$ ，且满足 $|PF| = 3 |FQ|$ ，若 $|OP| = b$ ，则 $E$ 的离心率为（）

$A. \sqrt3$ $B. \sqrt2$ $C.2$ $D.\sqrt5$

12. 设函数 $f(x) = (x-a)^2 + (\ln x^2 - 2a)^2$ ，其中 $x>0$ ， $a \in \mathcal{R}$ ，存在 $x_0$ 使得 $f(x_0) \le \dfrac45$ 成立，则实数 $a$ 等于（）

$A.1$ $B.\dfrac15$ $C.\dfrac25$ $D.\dfrac12$

填空题

13. 已知 $\overrightarrow{a} = (2,1)$ ， $\overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b} = (1,1)$ ，则 $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \underline{\hbox to 15mm}$ 。

14. 我国古代数学名字《周髀算经》记载有“勾股各自乘，并而开方除之”，用符号表示为 $a^2 + b^2 = c^2$ ， $(a, b, c \in N^*)$ ，我们把 $a,b,c$ 叫做勾股数。下面给出几组勾股数：3,4,5；5,12,13；7,24,25；9,40,41；…依次类推，可猜测第5组勾股数是 $\underline{\hbox to 15mm}$ 。

15. 已知一个四面体 $ABCD$ 的每个顶点都在表面积为 $9\pi$ 的球面上，且 $AB = CD = a$ ， $AC = AD = BC = BD = \sqrt5$ ，则 $a = \underline{\hbox to 15mm}$ 。

16. 已知定义在实数集 $\mathcal{R}$ 上的函数 $f(x)$ 满足 $f(1) = 4$ ，且 $f(x)$ 的导函数 $f'(x) < 3$ ，则不等式 $f\left( \ln x \right) > 3 \ln x + 1$ 的解集为 $\underline{\hbox to 15mm}$ 。

解答题

17. 已知函数 $f(x) = 2\sin x \cos x + 2\sqrt3 \cos ^2 x - \sqrt3$

(1) 求函数 $f(x)$ 的单调减区间；

(2) 将函数 $y = f(x)$ 的图像向左平移 $\dfrac{\pi}{6}$ 个单位，再将所得的图像上各点的横坐标缩短为原来的 $\dfrac12$ 倍，纵坐标不变，得到 $y = g(x)$ 的图像，求 $y = g(x)$ 在 $\left( -\dfrac{\pi}{12}, \dfrac{\pi}{8} \right)$ 上的值域。

18. 如图， $PA \bot$ 平面 $ABCD$ ， $AD \parallel BC$ ， $\angle ABC = 90^{\circ}$ ， $AB = BC = PA = 1$ ， $AD = 3$ ， $E$ 是 $PB$ 的中点。

(1) 求证： $AE \bot$ 平面 $PBC$ ；

(2) 求二面角 $B - PC - D$ 的余弦值。

19. 已知椭圆 $C$ ： $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 (a>b>0)$ 的两个焦点和短轴的两个端点都在圆 $x^2 + y^2 = 1$ 上。

(1) 求椭圆 $C$ 的方程；

(2) 若斜率为 $k$ 的直线过点 $M(2,0)$ ，且与椭圆 $C$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点，试探讨 $k$ 为何值时， $OA \bot OB$ 。

20。某商场销售某种品牌的电冰箱，每周周初购进一定数量的电冰箱，商场每销售一台电冰箱可获利500元，若供大于求，则每台多余的电冰箱需交保管费100元；若供不应求，则可从其他商场调剂供应，此时每台电冰箱仅获利润200元。

(1) 若该商场周初购进20台电冰箱，求当周的利润（单元：元）关于当周需求量 $n$ （单位：台， $n \in N$ ）的函数 $f(n)$ 解析式；

(2) 该商场记录了去年夏天（共10周）的电冰箱需求量 $n$ （单位：台）整理得下表：

以记录的每周需求量的频率作为每周需求量的概率，若商场周初购进20台电冰箱， $x$ 表示当周的利润（单位：元），求 $x$ 的分布列及数学期望。

21. 已知函数 $f(x) = (x-2) e^x + a(x-1)^2$ 。

(1) 讨论函数 $f(x)$ 的单调性；

(2) 若函数 $f(x)$ 有两个零点，求实数 $a$ 的取值范围。

选考题

22. 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，曲线 $C$ 的参数方程为 $\begin{cases} x = 3\cos \alpha \\ y = \sin \alpha \end{cases}$ （ $\alpha$ 为参数）。在以原点为极点， $x$ 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线 $l$ 的极坐标方程为 $\rho \sin \left( \theta - \dfrac{\pi}{4} \right) = \sqrt2$ 。

(1) 求曲线 $C$ 的普通方程和直线 $l$ 的倾斜角；

(2) 设点 $P(0,2)$ ，直线 $l$ 和曲线 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，求 $|PA| + |PB|$ 。

23. 已知函数 $f(x) = |x+1|$ 。

(1) 求不等式 $f(x) < |2x+1| - 1$ 的解集 $M$ ；

(2) 设 $a,b \in M$ ，证明： $f(ab) > f(a) - f(-b)$ 。

参考答案

1-6 DCCBBD 7-12 BADCAB

13. $1$ ； 14. $11,60,61$ 15. $2\sqrt2$ 16. $(0,e)$

17. (1) $f(x) = 2\sin \left( 2x + \dfrac{\pi}{3} \right)$ ，递减区间为 $\left[\dfrac{\pi}{12} + k\pi , \dfrac{7\pi}{12} + k\pi \right] (k \in \mathcal{Z})$ ； (2) $g(x) = 2\sin \left( 4x + \dfrac{2\pi}{3} \right)$ ，值域为 $(-1,2]$ 。

18. (1) 略；(2) $-\dfrac{5\sqrt7}{14}$ 。

19. (1) $\dfrac{x^2}{2} + y^2 = 1$ ；(2) $k = \pm \dfrac{\sqrt5}{5}$ 。

20. (1) $f(n) = \begin{cases} 200n + 6000 \, (n \ge 20) \\ 600n - 2000 \, (n \le 19) \end{cases} (n \in N)$ ；(2) $x$ 的分布列为：

$E(x) = 9860$

21. (1) ①当 $a \ge 0$ 时，单调递增区间为 $(1,+\infty)$ ，单调递减区间为 $(-\infty, 1)$ ；②当 $-\dfrac{e}{2} < a < 0$ 时，单调递增区间为 $\left( -\infty, \ln (-2a) \right)$ ， $(1, +\infty)$ ，单调递减区间为 $\left( \ln (-2a), 1 \right)$ ；③当 $a = -\dfrac{e}{2}$ 时， $f(x)$ 在 $\mathcal{R}$ 上递增；④当 $a < -\dfrac{e}{2}$ 时，单调递增区间为 $(-\infty, 1)$ ， $\left( \ln(-2a), +\infty \right)$ ，单调递减区间为 $\left( 1, \ln(-2a) \right)$ 。