2019年宝鸡市高考模拟检测(一)数学(理科)

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2019年宝鸡市高考模拟检测(一)数学(理科)试题及部分解析。


选择题


1. 已知集合M = \left\{ x | -1 \le x \le \dfrac{2}{3} \right\}N = \left\{ x | \log_2 (2x-1) \le 0 \right\},则M \cap \complement_R N =(   )

A.[-1,1]     B. \left( \dfrac12, \dfrac23 \right]     C.\varnothing     D.\left[ -1, \dfrac12 \right]


2. \dfrac{3+2i}{2-3i} =(   )

A. \dfrac{12}{13} + i     B. \dfrac{12}{13} - i     C. i     D. -i


3. 如图所示,在边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域,若向该正方形中随机扔一粒豆子,它落在阴影区域内的概率是\dfrac13,则阴影部分的面积是(   )

A. \dfrac23     B.2     C. \dfrac43     D.3


4. 我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题(意为):“有一个人要走378里路。第一天健步行走,从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后恰好达到目的地。”那么,此人第4天和第5天共走路程是(   )

A.24里     B.36里     C.48里     D.60


5. 实数xy满足\begin{cases} x+y \le 3 \\ x \le y \\ 2x+y \ge 3 \end{cases},则z = \dfrac{y}{x}的取值范围是(   )

A. (1, +\infty)     B.[1,+\infty)     C. (2, +\infty)     D. (0,1)


6. 现执行如图所示的程序框图,该算法的功能是(    )

A. 求两个正数ab的最小公倍数

B. 判断两个正数ab是否相等

C. 判断其中一个正数是否能被另一个正数整除

D. 求两个正数ab的最大公约数


7. \triangle ABC的内角ABC所对的边分别为abc,已知b = \sqrt7c=4\cos B = \dfrac34,则\triangle ABC的面积等于(   )

A. 3\sqrt7     B. \dfrac{3\sqrt7}{2}     C. 9     D. \dfrac92


8. 平面直角坐标系xOy中,动点P与圆(x-2)^2 + y^2 = 1上的点最短距离与其到直线x = -1的距离相等,则P点的轨迹方程是(   )

A. y^2 = 8x   B. x^2 = 8y     C. y^2 = 4x     D. x^2 = 4y


9. 等差数列\left\{ a_n \right\}的前n项和为S_n,若公差d > 0\left( S_8 - S_5 \right) \left( S_9 - S_5 \right) < 0,则(   )

A. a_7 = 0     B. |a_7| = |a_8|     C. |a_7| > |a_8|     D. |a_7| < |a_8|


10. 已知正三棱柱ABC-A_1B_1C_1中,AB = AA_1 = 2,则异面直线AB_1CA_1所成角的余弦值为(   )

A.0     B. -\dfrac14     C. \dfrac14     D. \dfrac12


11. 已知双曲线E\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1(a>0, b>0),点FE的左焦点,点PE上位于第一象限内的点,P关于原点的对称点为Q,且满足|PF| = 3 |FQ|,若|OP| = b,则E的离心率为(   )

A. \sqrt3     B. \sqrt2     C.2     D.\sqrt5


12. 设函数f(x) = (x-a)^2 + (\ln x^2 - 2a)^2,其中x>0a \in \mathcal{R},存在x_0使得f(x_0) \le \dfrac45成立,则实数a等于(   )

A.1     B.\dfrac15     C.\dfrac25     D.\dfrac12


填空题


13. 已知\overrightarrow{a} = (2,1)\overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b} = (1,1),则\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \underline{\hbox to 15mm}


14. 我国古代数学名字《周髀算经》记载有“勾股各自乘,并而开方除之”,用符号表示为a^2 + b^2 = c^2(a, b, c \in N^*),我们把a,b,c叫做勾股数。下面给出几组勾股数:3,4,5;5,12,13;7,24,25;9,40,41;…依次类推,可猜测第5组勾股数是\underline{\hbox to 15mm}


15. 已知一个四面体ABCD的每个顶点都在表面积为9\pi的球面上,且AB = CD = aAC = AD = BC = BD = \sqrt5,则a = \underline{\hbox to 15mm}


16. 已知定义在实数集\mathcal{R}上的函数f(x)满足f(1) = 4,且f(x)的导函数f'(x) < 3,则不等式f\left( \ln x \right) > 3 \ln x + 1的解集为\underline{\hbox to 15mm}


解答题


17. 已知函数f(x) = 2\sin x \cos x + 2\sqrt3 \cos ^2 x - \sqrt3

(1) 求函数f(x)的单调减区间;

(2) 将函数y = f(x)的图像向左平移\dfrac{\pi}{6}个单位,再将所得的图像上各点的横坐标缩短为原来的\dfrac12倍,纵坐标不变,得到y = g(x)的图像,求y = g(x)\left( -\dfrac{\pi}{12}, \dfrac{\pi}{8} \right)上的值域。


18. 如图,PA \bot平面ABCDAD \parallel BC\angle ABC = 90^{\circ}AB = BC = PA = 1AD = 3EPB的中点。

(1) 求证:AE \bot 平面PBC

(2) 求二面角B - PC - D的余弦值。


19. 已知椭圆C\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 (a>b>0)的两个焦点和短轴的两个端点都在圆x^2 + y^2 = 1上。

(1) 求椭圆C的方程;

(2) 若斜率为k的直线过点M(2,0),且与椭圆C相交于AB两点,试探讨k为何值时,OA \bot OB


20。 某商场销售某种品牌的电冰箱,每周周初购进一定数量的电冰箱,商场每销售一台电冰箱可获利500元,若供大于求,则每台多余的电冰箱需交保管费100元;若供不应求,则可从其他商场调剂供应,此时每台电冰箱仅获利润200元。

(1) 若该商场周初购进20台电冰箱,求当周的利润(单元:元)关于当周需求量n(单位:台,n \in N)的函数f(n)解析式;

(2) 该商场记录了去年夏天(共10周)的电冰箱需求量n(单位:台)整理得下表:

以记录的每周需求量的频率作为每周需求量的概率,若商场周初购进20台电冰箱,x表示当周的利润(单位:元),求x的分布列及数学期望。


21. 已知函数f(x) = (x-2) e^x + a(x-1)^2

(1) 讨论函数f(x)的单调性;

(2) 若函数f(x)有两个零点,求实数a的取值范围。


选考题


22. 在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为\begin{cases} x = 3\cos \alpha \\ y = \sin \alpha \end{cases}\alpha 为参数)。在以原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线l的极坐标方程为\rho \sin \left( \theta - \dfrac{\pi}{4} \right) = \sqrt2

(1) 求曲线C的普通方程和直线l的倾斜角;

(2) 设点P(0,2),直线l和曲线C交于AB两点,求|PA| + |PB|


23. 已知函数f(x) = |x+1|

(1) 求不等式f(x) < |2x+1| - 1的解集M

(2) 设a,b \in M,证明:f(ab) > f(a) - f(-b)


参考答案


1-6  DCCBBD     7-12  BADCAB


13. 1;     14. 11,60,61     15. 2\sqrt2     16. (0,e)


17. (1) f(x) = 2\sin \left( 2x + \dfrac{\pi}{3} \right),递减区间为\left[\dfrac{\pi}{12} + k\pi , \dfrac{7\pi}{12} + k\pi \right] (k \in \mathcal{Z}); (2) g(x) = 2\sin \left( 4x + \dfrac{2\pi}{3} \right),值域为(-1,2]


18. (1) 略;(2) -\dfrac{5\sqrt7}{14}


19. (1) \dfrac{x^2}{2} + y^2 = 1;(2) k = \pm \dfrac{\sqrt5}{5}


20. (1) f(n) = \begin{cases} 200n + 6000 \, (n \ge 20) \\ 600n - 2000 \, (n \le 19)  \end{cases} (n \in N);(2) x的分布列为:

E(x) = 9860


21. (1) ①当a \ge 0时,单调递增区间为(1,+\infty),单调递减区间为(-\infty, 1);②当-\dfrac{e}{2} < a < 0时,单调递增区间为\left( -\infty, \ln (-2a) \right)(1, +\infty),单调递减区间为\left( \ln (-2a), 1 \right);③当a = -\dfrac{e}{2}时, f(x)\mathcal{R}上递增;④当a < -\dfrac{e}{2}时,单调递增区间为(-\infty, 1)\left( \ln(-2a), +\infty \right),单调递减区间为\left( 1, \ln(-2a) \right)

(2) a的取值范围为(0, +\infty)


22. (1) C\dfrac{x^2}{9} + y^2 = 1,直线ly = x +2,倾斜角为45^\circ。(2)|PA| + |PB| = \dfrac{18\sqrt2}{5}


23. (1) M = (-\infty, -1) \cup (1, +\infty);(2) \because |b| > 1\therefore |ab+1| + |b-1| \ge |ab+b| = |b|\cdot |a+1| > |a+1|


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