宝鸡中学高三诊断性试题(理科)

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宝鸡中学高三诊断性试题(理科)。


选择题


1. 已知集合A = \left\{ x \Big | |x|<1 \right\}B = \left\{ y \Big | y = e^x \, , \, x \in A \right\},则A \cup B 为(   )

A.(-1,e)    B.(-1,1)    C. \left( \dfrac{1}{e}, 1 \right)    D. \left( \dfrac{1}{e}, e \right)


2. 数学家欧拉定义e^{xi} = \cos x + i \sin x,若复数z满足e^{\frac{3}{4} \pi i} = z e^{\frac{\pi}{4} i},则\overline z等于(   )

A. i    B. -i    C. -1+i    D. 1-i


3. 在\triangle ABC中,\tan A = - \dfrac43,则\sin 2A =(   )

A. - \dfrac{24}{25}    B. \dfrac{24}{25}    C. - \dfrac{7}{25}    D. \dfrac{7}{25}


4. 已知抛物线Cy^2 = 4x焦点为F,点P(x_0, y_0)为曲线C上一点,且|PF| = \dfrac43 x_0,则|PF|等于(   )

A.3    B.4    C.5    D.6


5. 执行如图所示的程序框图,若输出T = \dfrac{1}{15},那么判断框内填入的条件为(   )

A. i<3    B. i<4    C. i<5    D. i<6


6. 设\left\{ a_n \right\}是首项为正数的等比数列,公比为q,则“q<0”是“对任意正整数na_{2n-1} > a_{2n}”的(   )

A. 充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件


7. 已知菱形ABCD边长为4\angle DAB = 120^\circ\overrightarrow{EC} = 3 \overrightarrow{DE},则\overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{BE}等于(   )

A.8    B.9    C.16    D.17


8. 某校车在7:208:008:40发车。张老师7:508:40到站台乘校车上班,且到达站台的时刻是随机的。则他等车的时间不超过10分钟的概率为(   )

A.\dfrac14    B.\dfrac15    C.\dfrac34    D.\dfrac25


9. 某微信群中有含有甲、乙两人在内的六个人抢五个红包,每人最多抢一个红包,且红包全部抢光。五个红包中有1元,2元,3元和两个5元(红包中钱数相同的视为相同红包)。则甲、乙两人都抢到红包的不同情况种数为(   )

A. 36    B. 240    C. 265    C. 480


10. 已知xy满足\begin{cases} 2x - y + 1 \ge 0 \\ x + y - 1 \ge 0 \\ x \le 2 \end{cases},则|2x + y + 4|的最小值为(   )

A. 5    B. 8    C. 14    D. 16


11. 某几何体三视图如图所示,则该几何体外接球的表面积为(   )

A. 48 \pi    B. 78 \pi    C. 60 \pi    D. 98 \pi


12. 已知双曲线\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1 \, (a>0,b>0)的右焦点为F_2,左右顶点分别为A_1A_2P为双曲线上任意一点。则分别以线段PF_2A_1A_2为直径的两个圆的位置关系为(   )

A.相交    B.相离    C.相切    D.内含


填空题


13. 如果n = 3 \int_0^{\pi} {\sin x \text{d} x},那么\left( x + \dfrac{1}{x} \right)^n的展开式中含x^2项的系数为\underline{\hbox to 10mm{}}


14. 已知正项数列\left\{ a_n \right\}的前n项和为S_na_1 = 1S_n + S_{n+1} = \dfrac{1}{a_{n+1}},则a_{81} = \underline{\hbox to 10mm{}}


15. 已知函数f(x) = 2 \cos (\omega x + \varphi) \, (\omega > 0)\left[ -\dfrac{\pi}{3}, \dfrac{\pi}{12} \right]上具有单调性,且f \left( - \dfrac{\pi}{4} \right) = -f \left( \dfrac{\pi}{12} \right) = -f \left( \dfrac{\pi}{4} \right),则f(x)的最小正周期为\underline{\hbox to 10mm{}}


16. 对于任意实数a \ge 1,函数f(x) = \dfrac12 x^2 - ax - bg(x) = a \ln (x-1)的图像有交点,则实数b的取值范围为\underline{\hbox to 10mm{}}


解答题


17. 已知向量\overrightarrow{a} = (\sin x , 1)\overrightarrow{b} = (\cos x + \sqrt3 \sin x , \sqrt3),若f(x) = \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}

(1) 求f(x)的最小正周期;

(2) 在\triangle ABC中,角ABC对应边分别为abc,且(2a+c) \cos B + b \cos C =0。求f(A)的取值范围。


18. 在三棱柱P-ABC中,PA \bot平面ABCAB \bot BCAB = BC = 2PA = 2\sqrt3D在棱PB上,且PD = 3DB

(1) AD⊥平面PBC;

(2) 已知M为棱AC的中点,NAP上,且AN = t \, (0 \le t \le 2\sqrt3),是否存在实数t使平面MNB与平面PBC所成的夹角为60^\circ,若存在,求t值;若不存在,说明理由。


19. 6月6日为全国爱眼日,某市为唤醒市民爱护眼睛的意识,随机抽查了不同年龄的40位市民(规定45岁及45岁以下的为青年人,45岁以上的为老年人)对市民是否喜欢看手机进行了抽查。结果如下联表:

(1) 试分析是否有99%的把握认为“看手机与年龄有关”;

(2) 从被抽查的16名不喜欢看手机的人中,随机抽2人,求抽到年轻人的人数\xi的分布列和数学期望。

(参考:\kappa ^2 = \dfrac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)},其中n = a+b+c+d临界参考值如下表)


20. 设圆C_1(x+1)^2 + y^2 = 16,直线l_1过点C_2 (1,0)x轴不重合,l_1交圆C_1AB两点,过C_2AC_1的平行线交BC_1P点。

(1) 求证:|PC_1| + |PC_2|为定值,并写出点P的轨迹\Gamma的方程;

(2) 过C_2的直线l_2x=1交曲线\Gamma于点MM在第一象限),A_1为曲线\Gamma左端点,平行于A_1M的直线l交曲线\GammaEF两点,判定MEMF是否关于直线l_2对称,并说明理由。


21. 已知函数f(x) = bx + 1 - a \sin x

(1) 若f(x)x = \dfrac{\pi}{2}处的极大值为2,求ab的值,并证明f(x)的图像与函数y = \dfrac{x+1}{x}的图像在\left( 0, \dfrac{\pi}{2} \right)上仅有一个交点。

(2) 若a>0g(x) = f \left( x - \dfrac{\pi}{2} \right) - (bx+1),对任意x_1x_2 \in (0,1]都有|g(x_1) - g(x_2)| \le 4 \Bigg | \dfrac{1}{x_1} - \dfrac{1}{x_2} \Bigg |恒成立,求实数a的取值范围。


选做题


22. 已知直线ly = x + 2,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的方程为\rho ^2 = \dfrac{4}{1 + 3 \sin ^2 \theta}

(1) 写出直线l的标准参数方程和曲线C的普通方程;

(2) 设P(0,2),直线l和曲线C交于两点AB,求|PA| + |PB|


23. 已知函数f(x) = |x+1|

(1) 解不等式f(x) + f(x-4) \ge 8

(2) 若|a| > 1|b| > 1,求证f(ab) > |a| f \left( \dfrac{b}{a} \right).


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