宝鸡中学2017届高三总复习同步微专题11:导数小题型(构造函数)

    在导数的练习中,常见这一类题型:已知含有f'(x)的一个不等式,以及f(x)的一些其他性质,让解不等式或者比较大小。这类题型的常用思路是\emph{构造函数},下面举例说明。


    1.f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,\left( x^2+1 \right) f'(x) + 2xf(x) <0,且f(-1)=0,则不等式f(x)>0的解集是(   )

    A.(1,+\infty)

    B.(-1,0) \cup (1,+\infty)

    C.(-\infty, -1)

    D.(-\infty, -1) \cup (0,1)

    分析:观察条件给的不等式\left( x^2+1 \right) f'(x) + 2xf(x) <0,它的左边是g(x)=\left( x^2+1 \right) f(x)的导函数。故构造g(x),并把题中f(x)的其他性质转化成g(x)的性质,把要求解的不等式也转化成关于g(x)的不等式。

    解答:g(x)=\left( x^2+1 \right) f(x)\thereforex>0时,g'(x)=\left( x^2+1 \right) f'(x) + 2xf(x)<0

    由f(x)是奇函数得g(x)也是奇函数,由f(-1)=0g(-1)=0。可得g(x)的“草图”如下:

    而不等式f(x)>0等价于g(x)>0。由“草图”易知解集为(-\infty, -1) \cup (0,1),选D


    拓展:怎样构造出合适的函数呢?一般考虑一下三个模型:

    (1) \left(x^a \cdot f(x) \right)' = x^{a-1} \left( af(x) + xf'(x) \right)

        特别地,当a=1时,有\left( xf(x) \right)'=f(x) + xf'(x)

                    当a=-1时,有\left( \dfrac{f(x)}{x} \right)'= \dfrac{xf'(x)-f(x)}{x^2}

    (2) \left(e^{ax} \cdot f(x) \right)' = e^{ax} \left( af(x)+f'(x) \right)

        特别地,当a=1时,有\left(e^{x} \cdot f(x) \right)' = e^{x} \left( f(x)+f'(x) \right)

                    当a=-1时,有\left( \dfrac{f(x)}{e^x} \right)' = \dfrac{\left( f'(x)-f'(x) \right)}{e^{x}}

    (3) \left( x^a \cdot e^{bx} \cdot f(x) \right)' = x^{a-1}e^{bx} \left[ af(x) + bxf(x) +xf'(x) \right]

    我们可以对比这三个模型求导后的形式与题中给出不等式的形式,确定a或者b

    下面再举几个例子:


    2. 已知函数f(x)的定义域为%R%,f(-1)=2,对任意x \in Rf'(x)>2,则不等式f(x)>2x+4的解集是(   )

    A.(-1,1)

    B.(-1,+\infty)

    C.(-\infty,-1)

    D.(-\infty,+\infty)

    分析:观察条件中给出的不等式,以及要求解的不等式,易知可以构造g(x)=f(x)-2x-4。再把f(x)的其他性质也都转化成g(x)的性质。

    解答:构造g(x)=f(x)-2x-4。则g'(x)=f'(x)-2>0\therefore g(x)R上递增。

    由f(-1)=2知,g(-1)=0,而不等式f(x)>2x+4即为g(x)>0\therefore解集为(-1,+\infty),选B


    3. 已知f(x)为定义在R上的可导函数,且f(x)<f'(x)对于x \in R恒成立,且e为自然对数的底,则(   )

    A.f(1)>e \cdot f(0)f(2012)>e^{2012} \cdot f(0)

    B.f(1)<e \cdot f(0)f(2012)>e^{2012} \cdot f(0)

    C.f(1)>e \cdot f(0)f(2012)<e^{2012} \cdot f(0)

    D.f(1)<e \cdot f(0)f(2012)<e^{2012} \cdot f(0)

    分析:对比可知,不等式f(x)<f'(x)是模型(2)当a=-1时的特例。

    解答:构造函数g(x)= \dfrac{f(x)}{e^x}\therefore g'(x)= \dfrac{f'(x)-f(x)}{e^x}>0\therefore g(x)R上递增。

    \therefore g(1)>g(0)g(2012)>g(0),即\dfrac{f(1)}{e} > f(0)\dfrac{f(2012)}{e^{2012}} >f(0)A正确。


    4. 设定义在R上的函数f(x)满足f(0)=-1,其导函数f'(x)满足f'(x)>k>1,则下列结论中一定错误的是(   )

    A.f \left( \dfrac{1}{k} \right) < \dfrac{1}{k}

    B.f \left( \dfrac{1}{k} \right) > \dfrac{1}{k-1}

    C.f \left( \dfrac{1}{k-1} \right) < \dfrac{1}{k-1}

    D.f \left( \dfrac{1}{k-1} \right) > \dfrac{1}{k-1}

    分析:f'(x)>k>1,尝试构造g(x)=f(x)-kx

    解答:g(x)=f(x)-kx\therefore g'(x)>0g(x)R上递增。

    由f(0)=-1知,g(0)=-1;由k>1知,\dfrac{1}{k} > 0\dfrac{1}{k-1} >0

    \therefore g \left( \dfrac{1}{k} \right) = f \left( \dfrac{1}{k} \right) -1>-1\therefore f \left( \dfrac{1}{k} \right) >0AB选项无法判断正误。

    又g \left( \dfrac{1}{k-1} \right) = f \left( \dfrac{1}{k-1} \right) - \dfrac{k}{k-1} > -1\therefore f \left( \dfrac{1}{k-1} \right)>\dfrac{k}{k-1}-1,即f \left( \dfrac{1}{k-1} \right)>\dfrac{1}{k-1},选C


    5.已知定义在R上的奇函数f(x)的导函数为f'(x),当x<0时,f(x)满足2f(x) + xf'(x) < xf(x),则f(x)R上的零点个数为(   )

    A.1

    B.3

    C.5

    D.13

    分析:对比题中给出的不等式可知,只需在模型(3)中令a=2b=-1

    解答:g(x) = x^2 \cdot e^{-1} \cdot f(x),则当x<0时,g'(x) = x \cdot e^{-1} \cdot \left[ 2f(x) -xf(x) + xf'(x) \right] >0\therefore g(x)(- \infty,0)上递增,\thereforex<0时,g(x)<0,无零点。

    由g(x)= \dfrac{x^2f(x)}{e^x}可知g(x)的零点与f(x)的零点相同,\therefore f(x)x<0时无零点。而f(x)是奇函数,\therefore f(x)x>0时也没有零点。

    \therefore x=0f(x)唯一的零点。选A

    注意:本题无法从f(x)是奇函数得到g(x)是奇函数或者偶函数。

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