宝鸡中学2017届高三总复习同步微专题21：平面向量之"建系"

建立直角坐标系，把向量运算坐标化，是一个非常常见的思路。本微专题以4道宝鸡中学2017届高三同步复习题为例予以说明。

1.（理-考点规范练26-15）已知正方形 $ABCD$ 的边长为2， $\overrightarrow{DE}= 2\overrightarrow{EC}$ ， $\overrightarrow{DF} = \dfrac12(\overrightarrow{DC} + \overrightarrow{DB})$ ，则 $\overrightarrow{BE} \cdot \overrightarrow{DF} = \underline{\hbox to 10mm{}}$ 。

分析与解以 $\overrightarrow{AB}$ 方向为 $x$ 轴正方形， $A$ 为原点建系：

易知各点坐标为： $B(2,0)$ ， $E \left( \dfrac43,2 \right)$ ， $D(0,2)$ ， $F(2,1)$ 。

故 $\overrightarrow{BE} = \left(-\dfrac23,2 \right)$ ， $\overrightarrow{DF} = (2,-1)$ 。 $\therefore \overrightarrow{BE} \cdot \overrightarrow{DF} = -\dfrac43 - 2 = -\dfrac{10}{3}$ 。

2.（理-考点规范练26-16）已知直角梯形 $ABCD$ 中， $AD \parallel BC$ ， $\angle ADC = 90^\circ$ ， $AD = 2$ ， $BC = 1$ ， $P$ 是腰 $DC$ 上的动点，则 $|\overrightarrow{PA} + 3\overrightarrow{PB}|$ 的最小值为 $\underline{\hbox to 10mm{}}$ 。

分析与解如图建立直角坐标系：

易知 $A(2,0)$ ，设 $B(1,m)$ ， $P(0,t)$ ，其中 $m>0$ ， $0 \le t \le m$ 。

则 $\overrightarrow{PA} = (2,-t)$ ， $\overrightarrow{PB} = (1,m-t)$ ， $\therefore \overrightarrow{PA} + 3\overrightarrow{PB}$ $=(5,3m-4t)$ 。

令 $y = |\overrightarrow{PA} + 3\overrightarrow{PB}|^2$ $= 16t^2-24mt+9m^2+25,$ $0 \le t \le m$ ，则 $y$ 在对称轴 $t = \dfrac{3m}{4}$ 处取到最小值 $y_{min} = 25$ ， $\therefore |\overrightarrow{PA} + 3\overrightarrow{PB}|_{min} = 5$ 。

3.（理-考点规范练14，文-P252-1）已知 $\overrightarrow{AB} \bot \overrightarrow{AC}$ ， $|\overrightarrow{AB}| = \dfrac{1}{t}$ ， $|\overrightarrow{AC}| = t$ 。若点 $P$ 是 $\triangle ABC$ 所在平面内的一点，且 $\overrightarrow{AP} = \dfrac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|} + \dfrac{4\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$ ，则 $\overrightarrow{PB} \cdot \overrightarrow{PC}$ 的最大值等于（）

$A.13$ $B.15$ $C.19$ $D.21$

分析与解以 $\overrightarrow{AB}$ 方向为 $x$ 轴正方向，以 $A$ 点为原点建系：

则 $P(1,4)$ ， $B\left( \dfrac{1}{t},0 \right)$ ， $C(0,t)$ 。

$\therefore \overrightarrow{PB} = \left( \dfrac{1}{t}-1,-4 \right)$ ， $\overrightarrow{PC} = (-1,t-4)$ 。

$\therefore \overrightarrow{PB} \cdot \overrightarrow{PC}$ $= 17 - \left( 4t + \dfrac{1}{t} \right) \le 13$ 。选 $A$ 。

4.（文-P251-11）已知三角形 $ABC$ 中， $AB = AC$ ， $BC = 4$ ， $\angle BAC = 120^\circ$ ， $\overrightarrow{BE} = 3 \overrightarrow{EC}$ ，若 $P$ 是 $BC$ 边上的动点，则 $\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{AE}$ 的取值范围是 $\underline{\hbox to 10mm{}}$ 。