宝鸡中学2017届高三总复习同步微专题26:数列与分段函数

当数列的通项公式是以关于n的分段函数的形式给出时,要注意“已知该数列的单调性,求参数范围”,与“已知该分段函数的单调性,求参数范围”,两者有明显区别。以1道宝鸡中学2017届高三同步复习题为例说明。


1.(文-P253-12)已知函数f(x) = \begin{cases} (1-2a)x + 5 \, (x \le 12) \\ a^{x-13} \, (x>12) \end{cases},若数列\left\{ a_n \right\}满足a_n = f(n)\,(n \in N^*),且\left\{ a_n \right\}是递减数列,则实数a的取值范围是(   )

A.\left( \dfrac12,1 \right)

B.\left( \dfrac12,\dfrac34 \right)

C.\left( \dfrac12,\dfrac23 \right)

D.\left( \dfrac34,1 \right)

分析    数列的通项公式是分段函数,要使\left\{ a_n \right\}递减,需每一段递减,且在分界处递减。

      f(x)在两个区间内,分别为一次函数与指数函数,要使每一段都递减,且在分界处递减,需且只需

    \[ \begin{cases} 1-2a < 0 \\ 0<a<1 \\ a_{12} > a_{13} \end{cases} \]

解得\dfrac12 < a < \dfrac23,选C

反思    若要使f(x)\mathcal{R}上递减,需且只需

    \[ \begin{cases}1-2a<0 \\ 0<a<1 \\ (1-2a) \times 12 + 5 \ge a^{12-13} \end{cases} \]

解得\dfrac12 < a \le \dfrac{17+\sqrt{193}}{48}

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