裂项相消法是数列求和的一种重要的方法,有时候需要先进行适当的放缩,再使用裂项相消法求和。以1道宝中高三同步复习题举例说明。
1.正项数列的前
项和
满足:
。
(1) 求数列的通项公式
;
(2) 令,数列
的前
项和为
,证明:对于任意的
,都有
。
分析与解 (1) 由因式分解得:
。当
时,
,且
满足上式,故
。
(2) 代入得
2.正项数列的前
项和为
,且
。
求证:。
分析与解 ,即
。
,
。
考虑,如果直接裂项成
,则起不到前后项相消的目的。故尝试将其先进行放缩。
注意到,故
。
。
这就懵逼了