宝鸡中学2017届高三总复习同步微专题27：先放缩后裂项

裂项相消法是数列求和的一种重要的方法，有时候需要先进行适当的放缩，再使用裂项相消法求和。以1道宝中高三同步复习题举例说明。

1.正项数列 $\left\{ a_n \right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$ 满足： $S_n^2 - (n^2+n-1)S_n - (n^2+n) = 0$ 。

(1) 求数列 $\left\{ a_n \right\}$ 的通项公式 $a_n$ ；

(2) 令 $b_n = \dfrac{n+1}{(n+2)^2a_n^2}$ ，数列 $\left\{ b_n \right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_n$ ，证明：对于任意的 $n \in N_{+}$ ，都有 $T_n < \dfrac{5}{64}$ 。

分析与解 (1) 由 $S_n^2 - (n^2+n-1)S_n - (n^2+n) = 0$ 因式分解得：

$\left[ S_n - (n^2+n) \right] \left( S_n + 1 \right) = 0$

$\therefore S_n = n^2+n$ 。当 $n \ge 2$ 时， $a_n = S_n - S_{n-1} = 2n$ ，且 $a_1 = S_1 = 2$ 满足上式，故 $a_n = 2n$ 。

(2) 代入 $a_n$ 得 $b_n = \dfrac{n+1}{4(n+2)^2n^2}$ $= \dfrac{1}{16} \left[ \dfrac{1}{n^2} - \dfrac{1}{(n+2)^2} \right]$

$\therefore T_n = \dfrac{1}{16} \times \left[ 1 - \dfrac{1}{3^2} + \dfrac{1}{2^2} - \dfrac{1}{4^2} + \cdots + \dfrac{1}{n^2} - \dfrac{1}{(n+2)^2}\right]$ $< \dfrac{1}{16} \times \dfrac54$ $= \dfrac{5}{64}$

2.正项数列 $\left\{ a_n \right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$ ，且 $S_n^2 - (n^2+n-3)S_n - 3(n^2+n) = 0$ 。

求证： $\dfrac{1}{a_1(a_1+1)} + \dfrac{1}{a_2(a_2+1)} + \cdots + \dfrac{1}{a_n(a_n+1)} <\dfrac13$ 。

分析与解 $S_n^2 - (n^2+n-3)S_n - 3(n^2+n) = 0$ ，即 $\left[ S_n - (n^2+n) \right] \left[ S_n +3 \right] =0$ 。 $\therefore S_n = n^2+n$ ， $a_n = 2n$ 。

考虑 $\dfrac{1}{a_n(a_n+1)} = \dfrac{1}{2n(2n+1)}$ ，如果直接裂项成 $\dfrac{1}{2n} - \dfrac{1}{2n+1}$ ，则起不到前后项相消的目的。故尝试将其先进行放缩。

注意到 $2n(2n+1) > (2n-1)(2n+1)$ ，故 $\dfrac{1}{2n(2n+1)} < \dfrac{1}{(2n-1)(2n+1)}$ $= \dfrac12 \left( \dfrac{1}{2n-1} - \dfrac{1}{2n+1} \right)$ 。

$\therefore \dfrac{1}{a_1(a_1+1)} + \dfrac{1}{a_2(a_2+1)} + \cdots + \dfrac{1}{a_n(a_n+1)}$

$< \dfrac16 + \dfrac12 \left( \dfrac13 - \dfrac15 + \dfrac15 - \dfrac17 + \cdots + \dfrac{1}{2n-1} - \dfrac{1}{2n+1} \right)$

$< \dfrac16 + \dfrac16 = \dfrac13$ 。

宝鸡中学2017届高三总复习同步微专题27：先放缩后裂项

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