宝鸡中学2017届高三总复习同步微专题4:反客为主

    一般情况下,我们把x看成变量,把其他字母看成是参数。但也有特殊情况,本专题的2道题便是如此。


    理-考练-12. 设二次函数f(x)=ax^2 + bx满足条件:(1)f(x)=f(-x-2);(2)函数f(x)的图像与直线y=x相切。

    (1)求f(x)的解析式;

    (2)若不等式{\pi}^{f(x)} > {\left( \dfrac{1}{\pi} \right) }^{2-tx}|t| \le 2时恒成立,求实数x的取值范围。

    分析:条件(1)给出了f(x)的对称性。条件(2)二次函数与直线相切,一般用联立方程,\Delta =0处理。

    解答:(1)\because f(x)=f(-x-2)\therefore f(x)关于x=-1对称,\therefore -\dfrac{b}{2a}=-1\therefore b=2a。又由ax^2 +bx = xax^2 + (b-1)x =0\Delta = \left( b-1 \right)^2 = 0。解得b=1,a=\dfrac{1}{2}\therefore f(x)= \dfrac{1}{2}x^2+x

    (2){\pi}^{f(x)} > {\left( \dfrac{1}{\pi} \right) }^{2-tx}{\pi}^{\dfrac{1}{2}x^2+x} > {\left( \dfrac{1}{\pi} \right) }^{2-tx}\therefore \dfrac{1}{2}x^2+x > tx-2\therefore tx - \dfrac{1}{2}x^2-x-2 <0-2 \le t \le 2时恒成立。把该不等式左边看成关于t的一次函数,其中一次项系数为x,常数项为- \dfrac{1}{2}x^2-x-2,要使该一次函数的图像在区间[-2,2]中间的部分在x轴下方,需且只需两端点处在x轴下方。即:

    \[\left\{{\begin{array}{*{20}{l}}{ - 2x - \dfrac{1}{2}{x^2} - x - 2 < 0}\\{2x - \dfrac{1}{2}{x^2} - x - 2 <0}\end{array}} \right.\]

解得x \in (-\infty,-3- \sqrt{5}) \cup (-3+ \sqrt5, + \infty)


    文-考练(四)-5. 对于任意a \in [-1,1],函数f(x)=x^2 + (a-4)x +4-2a的值总大于0,则x的取值范围是(   )。

    A.(1,3)

    B.(-\infty,1) \cup (3, + \infty)

    C.(1,2)

    D.(-\infty,1) \cup (2, +\infty)

    分析:已知a的范围,求x的取值范围,故可以把f(x)整理成关于a的一次函数,把a看成是变量,而把x看成是参数。

    解答:f(x)=x^2 + (a-4)x +4-2a = (x-2)a + x^2 -4x + 4 > 0恒成立,把不等式左边看成关于a的一次函数g(a),其中一次项系数为x-2,常数项为x^2 -4x + 4。要使当-1 \le a \le 1时,g(a) > 0恒成立,需且只需

    \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{g\left( { - 1} \right) > 0}\\{g\left( 1 \right) > 0}\end{array}} \right.\]

解得x \in (- \infty,1) \cup (3, + \infty)。选B。


    小结:“反客为主”即把一般情况下作为“客”的参数反过来看成是“主”,即变量,而把一般情况下看成是变量的x,看成是参数。这个方法一般适用于已知其他字母的范围,求x的范围。

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