宝鸡中学2017届高三总复习同步微专题40:绝对值不等式

复习两道绝对值不等式的题目。


1.(理-考点规范练68-8)设函数f(x) = |x| + |2x-a|

(1) 当a=1时,解不等式f(x) \le 1

(2) 若不等式f(x) \ge a^2对任意x \in \mathcal{R}恒成立,求实数a的取值范围。

分析与解    (1)当a = 1时,根据零点x_1 = 0x_2 = \dfrac12分区间讨论:

\romannumeral1.x \le 0时,f(x) = 1-3x \le 1,解得x \ge 0\therefore x = 0

\romannumeral2.0 < x \le \dfrac12时,f(x) = 1-x \le 1,解得x \ge 0\therefore 0 < x \le \dfrac12

\romannumeral3.x > \dfrac12时,f(x) = 3x-1 \le 1,解得x \le \dfrac23\therefore \dfrac12 < x \le \dfrac23

综上知,解集为\left\{ x | 0 \le x \le \dfrac23 \right\}

(2) 即|x| + |2x-a| \ge a^2恒成立:

\romannumeral1.a = 0时,显然成立。

\romannumeral2.a \ne 0时,令x = ka,原命题即|k| + |2k-1| \ge |a|\forall k \in \mathcal{R}恒成立。

|k| + |2k-1| = |k| + |k - \dfrac12| + |k - \dfrac12| 

\ge \dfrac12 + |k - \dfrac12| 

\ge \dfrac12

\begin{cases}k \left( k - \dfrac12 \right) \le 0 \\ k = \dfrac12 \end{cases}时,即k = \dfrac12时取等。

|a| \le \dfrac12a \in \left[ - \dfrac12,0 \right) \cup \left( 0, \dfrac12 \right]

综上知,a的取值范围是\left[ - \dfrac12, \dfrac12 \right]


2.(理-考点规范练68-10)已知函数f(x) = \sqrt{|x+1| + |x-3| - m}的定义域为\mathcal{R}

(1) 求实数m的取值范围;

(2) 若m的最大值为n,当正数a,b满足\dfrac{2}{3a+b} + \dfrac{1}{a+2b} = n时,求7a+4b的最小值。

分析与解    (1) \because |x+1| + |x-3| \ge |(x+1) - (x-3)| = 4\therefore m \le 4

(2) 即已知\dfrac{2}{3a+b} + \dfrac{1}{a+2b} = 4,求7a+4b的最小值。

7a + 4b = 2(3a+b) + (a+2b)

= \dfrac14 \left[ 2(3a+b) + (a+2b) \right] \left[ \dfrac{2}{3a+b} + \dfrac{1}{a+2b} \right]

= \dfrac14 \left[ 5 + \dfrac{2(3a+b)}{a+2b} + \dfrac{2(a+2b)}{3a+b}  \right]

\ge \dfrac94

a+2b = 3a+b,即b = 2a = \dfrac{3}{10}时取等。

\therefore 7a+4b的最小值为\dfrac94

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