宝鸡中学2017届高三总复习同步微专题6:对称性与周期性

    本专题主要涉及三个小问题:1.利用周期性和对称性求值;2.对称性与周期性的关系;3.周期性的一个很容易出错的问题。


    1.函数f(x)=x^3 + \sin x +1,求f(-2015)+f(-2014)+f(-2013) + \cdots + f(2014) +f(2015)=(   )

    A. 0

    B. 2014

    C. 4028

    D. 4031

    分析:考察f(x)的对称性。

    解答:f(x)关于(0,1)中心对称,故f(x)+f(-x)=2\therefore f(-2015)+f(2015)=f(-2014)+f(2014)=\cdots= f(-1)+f(1)=2,且易知f(0)=1\therefore原式= 2015 \times 2 +1 =4031。选D

    拓展:f(a+x)+f(a-x) = 2b,则f(x)关于点(a,b)中心对称。


    

    2.已知定义在R上的奇函数f(x)的图像关于直线x=1对称,f(-1)=1,则f(1)+f(2)+f(3)+ \cdots + f(2015)的值为(   )

    A. -1

    B. 0

    C. 1

    D. 2

    分析:f(x)是奇函数,以及关于x=1对称,可以得出周期性。

    解答:f(x)关于(0,0)中心对称,且关于x=1轴对称,故周期T=4。又有f(1)=-f(-1)=-1f(2)=f(0)=0f(3)=f(-1)=1f(4)=f(0)=0\therefore原式=0。选B

    拓展:一般地,两个对称性能得到一个周期性。

    (1)若f(x)关于x=a对称,且关于x=b对称,则T=2|a-b|

    (2)若f(x)关于(a,0)对称,且关于(b,0)对称,则T=2|a-b|

    (3)若f(x)关于(a,0)对称,且关于x=b对称,则T=4|a-b|


    

    3.已知f(x)是定义在R上的函数,且对任意x \in R都有f(x+2)=f(2-x)+4f(2),若函数y=f(x+1)的图像关于点(-1,0)对称,且f(1)=3,则f(2015)=(   )

    A. 6

    B. 3

    C. 0

    D. -3

    分析:f(x+2)=f(2-x)+4f(2)赋值,先得出f(2)的值。

    解答:f(x+2)=f(2-x)+4f(2),令x=0f(2)=f(2)+4f(2)\therefore f(2)=0\therefore f(x+2)=f(2-x)\therefore f(x)关于x=2轴对称,又y=f(x+1)关于(-1,0)对称,\therefore f(x)关于(0,0)中心对称,\therefore f(x)的周期为8\therefore f(2015)=f(-1)=-f(1)=-3。选D


    

    4.已知f(x)是定义在R上的偶函数,当x \ge 0时,有f(x+1)=-f(x),且当x \in [0,1)时,f(x)= \log_2{(x+1)},给出下列命题:

    ① f(2013)+f(-2014)的值为0

    ② 函数f(x)在定义域上为周期是2的周期函数;

    ③ 直线y=x与函数f(x)的图像有1个交点;

    ④ 函数f(x)的值域为(-1,1)

    其中正确命题的序号有\underline{\hbox to 15mm{}}

    分析:f(x+1)=-f(x)可以得出周期T=2,但是一定要注意这个是在x \ge 0时的周期,并不能得到f(x)R上的周期就是2

    解答:f(x)是偶函数,以及在[0, + \infty)上的周期为2,可以由f(x)[0,1)上的函数图像,画出整个函数的图像:

    画图的步骤为:① 在f(x+1)=-f(x),令x=0,得f(1)=-f(0)=0;令x=1f(2)=-f(1)=0

                  ② 当x \in (1,2)时,0<x-1<1\therefore f(x-1)= \log_2{(x-1+1)} = \log_2{x}\therefore f(x)=-f(x-1)=- \log_2{x}

                  ③ 由在[0, + \infty)上的周期为2,画出[2,3)上的图像;

                  ④ 由f(x)是偶函数画出[-3,0]上的图像。

                  ⑤ 易知在[3, + \infty)(- \infty, -3)上的函数图像。

    由图像易知,f(x)在所有点(k,0),k \in Z上的函数值都是0,①正确;f(x)[0,+ \infty)(- \infty,0]上的周期都是2,但是在R上的周期并不是2请观察在(-1,0)(1,2)上的图像,②错误;f(x)与直线y=x有一个交点,③正确;f(x)的值域为(-1,1),④正确。

    拓展:f(x)[0,+ \infty)上的周期为2,并不能推出在R上的周期为2,这是一个很容易出错的点。

    

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