宝鸡中学2017届高三总复习同步微专题7:对称后的交点

    我们知道,两个函数的交点问题与一个函数的零点问题可以互相转化。已知两个函数的交点个数,求解参数的范围这一类问题,可以先把这两个函数作差,转化成已知新函数的零点个数,求参数的范围。今天的专题,稍稍对这类问题进行了变形,即已知两个函数存在关于y轴(或其他直线)对称的点,求参数的取值范围。


    理-考点规范练10-9. 已知函数f(x)=x^2+e^x- \dfrac{1}{2} (x<0)g(x)=x^2+ \ln (x+a)的图像上存在关于y轴对称的点,则a的取值范围是(   )

    A. \left( - \infty, \dfrac{1}{\sqrt{e}} \right)

    B. \left( - \infty, \sqrt{e} \right)

    C. \left( - \dfrac{1}{\sqrt{e}}, \sqrt{e} \right)

    D. \left( - \sqrt{e}, \dfrac{1}{\sqrt{e}} \right)

    分析:问题等价于先把y=f(x)关于y轴对称,得到y=f(-x),再由y=f(-x)y=g(x)存在交点求a的取值范围。

    解答:y=f(-x)=x^2+e^{-x}- \dfrac{1}{2} (x>0)g(x)=x^2 + \ln (x+a)\therefore e^{-x}- \dfrac{1}{2}= \ln (x+a)。等式两边的两个函数要在x>0范围内有交点,画出图像:

    当y= \ln (x+a)恰好过点\left( 0, \dfrac{1}{2} \right)时,a = \sqrt{e},故要使在x>0范围内有交点,a < \sqrt{e}。选B


    
    2. 已知函数f(x)=x^2-x- \dfrac{4x}{x-1}(x<0)g(x)=x^2+bx-2(x>0)b \in R。若f(x)图像上存在A,B两个不同的点与g(x)图像上A',B'两点关于y轴对称,则b的取值范围为(    )

    A.(-4 \sqrt2-5, + \infty)

    B.(4 \sqrt2-5, + \infty)

    C.(-4 \sqrt2-5,1)

    D.(4 \sqrt2-5,1)

    分析:思路同上题,先求y=f(-x),再让其与g(x)有两个不同的交点。

    

    解答:f(-x)=x^2 + x - \dfrac{4x}{x+1}(x>0),由f(-x)=g(x)x - \dfrac{4x}{x+1}=bx-2,化简得:\dfrac{4}{x+1} = (b-1)x+2,等式左侧是反比例函数y = \dfrac{4}{x}向左平移1个单位后得到,右侧是恒过(0,2),斜率为(b-1)的直线,画出函数图像:

    由图知:要使两个图像在x>0范围内有两个交点,只需让直线的斜率在相切与0之间。

    \dfrac{4}{x+1}=kx+2,即kx^2+(k+2)x-2=0,由\Delta = 0解得k = -6 + 4 \sqrt2\therefore -6+4 \sqrt2 < b-1 < 0\therefore 4 \sqrt2 -5 < b < 1。选D


    3.已知函数f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{a}{2}{x^2} + \left( {1 - a} \right)x + \dfrac{3}{{2a}},\left( {x \ge 0} \right)}\\{\ln \left( { - x} \right),\left( {x < 0} \right)}\end{array}} \right.。若f(x)的图像上存在关于y轴对称的点有两对,求实数a的取值范围。

    分析:即要求y= \ln xy= \dfrac{a}{2}{x^2} + \left( {1 - a} \right)x + \dfrac{3}{{2a}} 的图像在x>0范围内有两个交点。

    解答:\ln x = \dfrac{a}{2}{x^2} + \left( {1 - a} \right)x + \dfrac{3}{{2a}},令g(x)= \dfrac{a}{2}{x^2} + \left( {1 - a} \right)x + \dfrac{3}{{2a}} - \ln x,故g(x)x>0范围内有两个零点。

    g'(x) = ax + (1-a) - \dfrac{1}{x} =\dfrac{ax^2+(1-a)x-1}{x} =(x-1)(ax+1),令g'(x)=0,得x=1

    当x \in (0,1)时,g'(x)<0g(x)递减;    当x \in (1, + \infty)时,g'(x)>0g(x)递增。

    \therefore g_{min}(x)=g(1)= -\dfrac{a}{2} + \dfrac{3}{2a} +1。要使g(x)有两个零点,g(1)<0,解得a>3

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