抛物线上的定点 | 宝鸡中学生

抛物线上的定点问题1例，及与之相关的一个二级结论。

1. 已知抛物线 $y^2 = 2px \, (p>0)$ ，过点 $M(5,-2)$ 的动直线 $l$ 交抛物线于 $A$ 、 $B$ 两点，线段 $AB$ 的中点为 $N$ ，当直线 $l$ 的斜率为 $-1$ 时，点 $M$ 恰好为线段 $AB$ 的中点。

(1) 求抛物线的方程；

(2) 抛物线上是否存在一个定点 $P$ ，使得 $|PN| = \dfrac12 |AB|$ ，若存在，求出点 $P$ 坐标；若不存在，请说明理由。

分析与解 (1) $y^2 = 4x$ ，过程略。

(2) 设直线 $l$ ： $x = m(y+2) + 5$ ， $A(x_1,y_1)$ ， $B(x_2,y_2)$ 。假设存在点 $P(4t^2,4t)$ 。

由 $\begin{cases} y^2 = 4x \\ x = m(y+2) + 5 \end{cases}$ ，得 $y^2 - 4my - 8m - 20 = 0$ ， $\therefore y_1 + y_2 = 4m$ ， $y_1y_2 = -8m-20$ 。

且 $x_1+x_2 = m(y_1 + y_2) + 4m + 10 = 4m^2 + 4m + 10$ ， $x_1x_2 = \dfrac{(y_1y_2)^2}{16} = (2m+5)^2$ 。

$|PN| = \dfrac12 |AB|$ 等价于 $PA \bot PB$ ，即 $\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB} = 0$ 。

而 $\overrightarrow{PA} = (x_1 - 4t^2, y_1 - 4t)$ ， $\overrightarrow{PB} = (x_2 - 4t^2, y_2 - 4t)$ 。所以

$\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB} = (x_1 - 4t^2)(x_2 - 4t^2) + (y_1 - 4t)(y_2 - 4t)$

$= x_1x_2 - 4t^2(x_1+x_2) + 16t^4 + y_1y_2 - 4t(y_1 + y_2) + 16t^2$

$= (4-16t^2)m^2 + (12-16t-16t^2)m + 16t^4 - 24t^2 + 5 = 0$

要使该式对变化的 $m$ 恒成立，需 $\begin{cases} 4-16t^2 = 0 \\ 12-16t-16t^2=0 \\ 16t^4 - 24t^2 + 5=0 \end{cases}$ 。

$t = \dfrac12$ 满足条件，此时 $P(1,2)$ 。

故存在点 $P$ 使满足题意要求， $P$ 的坐标为 $(1,2)$ 。

拓展抛物线中有一个与本题相关的二级结论：点 $P(x_0,y_0)$ 为抛物线 $y^2 = 2px \, (p>0)$ 上的一个点， $A$ 、 $B$ 为该抛物线上的动点，且满足 $PA \bot PB$ ，则直线 $AB$ 过定点 $Q(x_0 + 2p, -y_0)$ 。

证明设 $Q(s,t)$ ， $AB$ ： $x = m(y-t) + s$ ， $A(x_1,y_1)$ ， $B(x_2,y_2)$

联立 $\begin{cases} y^2 = 2px \\ x = my - mt + s \end{cases}$ ，得 $y^2 - 2pmy + 2pmt - 2ps = 0$ 。

所以 $y_1+y_2 = 2pm$ ， $y_1y_2 = 2pmt - 2ps$

∴ $x_1+x_2 = 2pm^2 - 2mt + 2s$ ， $x_1x_2 = (mt-s)^2$ 。

$\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB} = x_1x_2 - x_0(x_1+x_2) + x_0^2 + y_1y_2 - y_0(y_1+y_2) + y_0^2$

$= (t^2 - 2px_0)m^2 + (2tx_0 - 2ts + 2pt -2py_0)m + s^2 - 2sx_0 + x_0^2 - 2ps + y_0^2 = 0$

解得 $\begin{cases}s = x_0 \\ t = y_0 \end{cases}$ （舍），或 $\begin{cases}s = x_0+2p \\ t = -y_0 \end{cases}$ 。

故 $Q(x_0 + 2p, -y_0)$ 。

一个有关抛物线上定点的二级结论