圆锥曲线定点问题1例

    已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3,最小值为1

(1) 求椭圆C的标准方程;

(2) 若直线ly = kx+m与椭圆C相交于AB两点(AB不是左右定点),且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点,求证:直线l过定点,并求出该定点的坐标。

分析与解    (1) 由\begin{cases}a+c=3 \\ a-c=1 \end{cases}解得\begin{cases}a=2 \\ c=1 \end{cases}\therefore b^2 = 3 \therefore椭圆C的方程为\dfrac{x^2}{4} + \dfrac{y^2}{3} = 1

(2) 设A(x_1,y_1)B(x_2,y_2)

直曲联立\begin{cases} \dfrac{x^2}{4} + \dfrac{y^2}{3} = 1 \\ y = kx+m \end{cases}得:(4k^2+3)x^2+8kmx+4m^2-12=0 \cdots (1)

\therefore x_1+x_2 = \dfrac{-8km}{4k^2+3}x_1x_2 = \dfrac{4m^2-12}{4k^2+3}

\Delta = 64k^2m^2 - 4(4k^2+3)(4m^2-12) > 0,得4k^2+3>m^2 \cdots (*)

右顶点为D(2,0)\overrightarrow{DA} = (x_1-2,y_1)\overrightarrow{DB} = (x_2-2,y_2)

\overrightarrow{DA} \cdot \overrightarrow{DB} = x_1x_2 - 2(x_1+x_2) + 4 + y_1y_2

= x_1x_2 - 2(x_1+x_2) + 4 + (kx_1+m)(kx_2+m)

= (k^2+1)x_1x_2 + (km-2)(x_1+x_2) + m^2 +4

= (k^2+1)\dfrac{4m^2-12}{4k^2+3} + (km-2)\dfrac{-8km}{4k^2+3} + m^2 +4 = 0

化简得4k^2 + 16km + 7m^2 = 0,即(2k+m)(2k+7m)=0\therefore m = -2k,或m = -\dfrac{2k}{7}

都满足(*)式。

\therefore l的方程为y = kx - 2k = k(x-2),此时AB过右顶点,不符合题意。

y = kx - \dfrac{2k}{7} = k \left( x - \dfrac27 \right),所以定点坐标为\left( \dfrac27 , 0 \right)


小结    (1) 把条件和结论“坐标化”是圆锥曲线的常用思路;(2) 对于定点、定直线、定值问题,一般的考虑方向是“找等式,整体代入”。


拓展    本题还可以利用一元二次方程的“两根式”减少一些运算量。我们知道一元二次方程可以写成ax^2+bx+c=0的形式,称其为“一般式”,还可以写成a(x-x_1)(x-x_2)=0的形式,称其为“两根式”,其中x_1,x_2是该方程的两个根。对于同一个方程,显然有ax^2+bx+c = a(x-x_1)(x-x_2)

故由(1)式:(4k^2+3)x^2+8kmx+4m^2-12 = (4k^2+3)(x-x_1)(x-x_2)

x = 2得  (4k^2+3)(x_1-2)(x_2-2) = 16k^2 + 16km + 4m^2

x = -\dfrac{m}{k}得  (4k^2+3) \left( x_1+ \dfrac{m}{k} \right) \left( x_2+ \dfrac{m}{k} \right) =(4k^2+3)\dfrac{m^2}{k^2}  - 4m^2 -12

\therefore (4k^2+3)\overrightarrow{DA} \cdot \overrightarrow{DB}

=  (4k^2+3)(x_1-2)(x_2-2) + k^2 (4k^2+3) \left( x_1 + \dfrac{m}{k} \right) \left( x_2 + \dfrac{m}{k} \right)

= 16k^2 + 16km + 4m^2 +4k^2m^2 + 3m^2 -4k^2m^2 - 12k^2

= 4k^2 + 16km + 7m^2 = 0

下同。

小结    “双根法”的好处是把(x-x_1)(x-x_2)\left( x_1+ \dfrac{m}{k} \right) \left( x_2+ \dfrac{m}{k} \right)作为整体求出,而不是把它们展开后用两根和,与两根积代入。

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