解三角形中的夹逼策略

如果m≤x≤m,则可以得到x=m,这个称为夹逼策略。本博文举2例说明其在解三角形中的应用。


1. 已知在\triangle ABC中,ABC所对的边分别为abcR\triangle ABC外接圆的半径,若a=1\dfrac32 \sin ^2 B +\dfrac72 \sin ^2 C - \sin ^2 A = \sin A \sin B \sin C,则R的值为(   )

A.\sqrt5    B.\dfrac{\sqrt5}{2}    C.\sqrt6    D.\dfrac{\sqrt6}{2}

分析与解    由于a已知,故只需求出\sin A的值,就可以求R

由正弦定理:3b^2 + 7c^2 - 2a^2 = 2bc \sin A

又由余弦定理:2b^2 + 2c^2 - 2a^2 = 4bc \cos A

2bc \sin A = 4bc \cos A + b^2 + 5c^2 \ge 4bc \cos A + 2\sqrt5 bc

\sin A - 2 \cos A \ge \sqrt5

\sin A - 2\cos A = \sqrt5 \sin \left( A + \varphi \right) \le \sqrt5

\sin A - 2 \cos A = \sqrt5

解得\sin A = \dfrac{\sqrt5}{5}

R = \dfrac{a}{2 \sin A} = \dfrac{\sqrt5}{2}。选B


2. 在\triangle ABC中,ABC所对的边分别为abc,且b+c = 10b^2 + c^2 = -2a^2 + 32a - 78。求证:\triangle ABC是等腰三角形。

分析与解    由题给条件联想到可以构造以bc为两个根的一元二次方程。

bc = \dfrac{(b+c)^2 - (b^2 + c^2)}{2} = a^2 - 16a + 89

bc是方程x^2 - 10x + a^2 - 16a + 89 = 0的两个根。

\Delta = -4(a-8)^2 \ge 0,得(a-8)^2 \le 0

(a-8)^2 \ge 0,故(a-8)^2 = 0a = 8

\Delta = 0b = c

\triangle ABC是等腰三角形

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