离心率:有关旁心与角平分线定理

圆锥曲线小题中,应用平面几何中的定理有时可以起到事半功倍的效果。以一道求离心率的题目为例说明。


1.(圆锥曲线:离心率,角平分线定理)已知双曲线\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1\,(a>0,b>0)F_1F_2分别是双曲线的左右焦点,P是双曲线右支上一点,圆IF_1P的延长线,线段F_2PF_1F_2的延长线均相切。连接PI并延长交x轴于点D,若S_{\triangle PIF_1} : S_{\triangle DIF_1} = 1:2,那么该双曲线的离心率为(   )

A. \sqrt2    B.\sqrt3    C.2    D.\sqrt5


分析与解    由题意知,圆I\triangle PF_1F_2 的旁心,F_1IF_2I分别是\angle PF_1D\angle PF_2D 的角平分线。

由内角平分线定理知:

    \[ \dfrac{PI}{ID} = \dfrac{PF_1}{F_1D} = \dfrac{PF_2}{F_2D} \]

因为

    \[S_{\triangle PIF_1} : S_{\triangle DIF_1} = 1:2\]

    \[ \dfrac{PF_1}{F_1D} = \dfrac{PF_2}{F_2D} = \dfrac12 \]

PF_1 = m,则PF_2 = m - 2a,故F_2D = 2 PF_2 = 2m - 4a,故F_1D = 2m - 4a + 2c

    \[\dfrac{PF_1}{F_1D} = \dfrac{m}{2m - 4a + 2c} = \dfrac12 \]

c = 2ae = 2

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