平移椭圆

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08412 次浏览圆锥曲线 | 高中数学 |

把椭圆平移到以某个特定的点为坐标原点，有时可以简化运算。

1. 如图所示，已知椭圆E：\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 \, (a>b>0)的离心率为\dfrac12，E的右焦点到直线y=x+1的距离为\sqrt2。

(1) 求椭圆E的方程；

(2) 设椭圆E的右顶点为A，不经过A的直线l与椭圆E交于M，N两点，且以MN为直径的圆过A。求证：直线l恒过定点，并求出此定点坐标。

分析与解    (1) \dfrac{x^2}{4} + \dfrac{y^2}{3} = 1，过程略。

(2) 由于AM \bot MN，把椭圆向左平移2个单位，使A是原点。

则E'：\dfrac{(x+2)^2}{4} + \dfrac{y^2}{3} = 1，设平移后的直线M'N'：y=kx+b。

法1    联立\begin{cases} \dfrac{(x+2)^2}{4} + \dfrac{y^2}{3} = 1 \\ y=kx+b \end{cases}得

    \[\left(\dfrac{k^2}{3} + \dfrac14 \right) x^2 + \left( \dfrac23 kb + 1 \right) x + \dfrac{b^2}{3} = 0\]

所以

    \[x_1x_2 = \dfrac{4b^2}{4k^2 + 3} , x_1+x_2 = \dfrac{-8kb-12}{4k^2+3}\]

且

    \[ y_1y_2 = (kx_1+b)(kx_2+b) = k^2x_1x_2 + kb(x_1+x_2) + b^2\]

由AM \bot MN得

    \begin{align*}x_1x_2 + y_1y_2 &= (k^2+1)x_1x_2 + kb(x_1+x_2) + b^2 \\&=\dfrac{b(7b-12k)}{4k^2+3} \\&= 0\end{align*}

\therefore b = \dfrac{12}{7}k，M'N'：y = k\left( x + \dfrac{12}{7} \right)，M'N'恒过\left( -\dfrac{12}{7}, 0 \right)。

所以平移前MN恒过\left( \dfrac{2}{7}, 0 \right)。

法2（齐次化）    E'方程即：4y^2+12x+3x^2 = 0 \cdots (1)

M'N'：y = kx + b，∴\dfrac{y-kx}{b} = 1，代入(1)式得：

    \[ 4y^2 + 12x \times \dfrac{y-kx}{b} + 3x^2 = 0 \]

整理得

    \[ 4\left( \dfrac{y}{x} \right)^2 + \dfrac{12}{b} \cdot \dfrac{y}{x} + 3 - \dfrac{12k}{b} = 0 \]

所以

    \[ \dfrac{y_1}{x_1} \cdot \dfrac{y_2}{x_2} = \dfrac{3-\dfrac{12k}{b}}{4} = -1\]

解得b = \dfrac{12k}{7}，所以M'N'：y = k \left( x + \dfrac{12}{7} \right)，恒过\left( -\dfrac{12}{7},0 \right)。

所以平移前MN恒过\left( \dfrac{2}{7}, 0 \right)。

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作者 : 一杯未尽
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