平移椭圆

把椭圆平移到以某个特定的点为坐标原点,有时可以简化运算。


1. 如图所示,已知椭圆E:\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 \, (a>b>0)的离心率为\dfrac12,E的右焦点到直线y=x+1的距离为\sqrt2

(1) 求椭圆E的方程;

(2) 设椭圆E的右顶点为A,不经过A的直线l与椭圆E交于M,N两点,且以MN为直径的圆过A。求证:直线l恒过定点,并求出此定点坐标。


分析与解    (1) \dfrac{x^2}{4} + \dfrac{y^2}{3} = 1,过程略。

(2) 由于AM \bot MN,把椭圆向左平移2个单位,使A是原点。

E'\dfrac{(x+2)^2}{4} + \dfrac{y^2}{3} = 1,设平移后的直线M'N'y=kx+b


法1    联立\begin{cases} \dfrac{(x+2)^2}{4} + \dfrac{y^2}{3} = 1 \\ y=kx+b \end{cases}

    \[\left(\dfrac{k^2}{3} + \dfrac14 \right) x^2 + \left( \dfrac23 kb + 1 \right) x + \dfrac{b^2}{3} = 0\]

所以

    \[x_1x_2 = \dfrac{4b^2}{4k^2 + 3} , x_1+x_2 = \dfrac{-8kb-12}{4k^2+3}\]

    \[ y_1y_2 = (kx_1+b)(kx_2+b) = k^2x_1x_2 + kb(x_1+x_2) + b^2\]

AM \bot MN

    \begin{align*}x_1x_2 + y_1y_2 &= (k^2+1)x_1x_2 + kb(x_1+x_2) + b^2 \\&=\dfrac{b(7b-12k)}{4k^2+3} \\&= 0\end{align*}

\therefore b = \dfrac{12}{7}kM'N'y = k\left( x + \dfrac{12}{7} \right)M'N'恒过\left( -\dfrac{12}{7}, 0 \right)

所以平移前MN恒过\left( \dfrac{2}{7}, 0 \right)


法2(齐次化)    E'方程即:4y^2+12x+3x^2 = 0 \cdots (1)

M'N'y = kx + b,∴\dfrac{y-kx}{b} = 1,代入(1)式得:

    \[ 4y^2 + 12x \times \dfrac{y-kx}{b} + 3x^2 = 0 \]

整理得

    \[ 4\left( \dfrac{y}{x} \right)^2 + \dfrac{12}{b} \cdot \dfrac{y}{x} + 3 - \dfrac{12k}{b} = 0 \]

所以

    \[ \dfrac{y_1}{x_1} \cdot \dfrac{y_2}{x_2} = \dfrac{3-\dfrac{12k}{b}}{4} = -1\]

解得b = \dfrac{12k}{7},所以M'N'y = k \left( x + \dfrac{12}{7} \right),恒过\left( -\dfrac{12}{7},0 \right)

所以平移前MN恒过\left( \dfrac{2}{7}, 0 \right)

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