把椭圆平移到以某个特定的点为坐标原点,有时可以简化运算。
1. 如图所示,已知椭圆E:的离心率为
,E的右焦点到直线
的距离为
。
(1) 求椭圆E的方程;
(2) 设椭圆E的右顶点为A,不经过A的直线与椭圆E交于M,N两点,且以MN为直径的圆过A。求证:直线
恒过定点,并求出此定点坐标。
分析与解 (1) ,过程略。
(2) 由于,把椭圆向左平移2个单位,使
是原点。
则:
,设平移后的直线
:
。
法1 联立得
所以
且
由得
,
:
,
恒过
。
所以平移前恒过
。
法2(齐次化) 方程即:
:
,∴
,代入(1)式得:
整理得
所以
解得,所以
:
,恒过
。
所以平移前恒过
。