三次函数的极值点

三次函数有一些比较特殊的性质,本博文以一例说明三次函数极值点的一个性质。


1. 已知函数f(x) = x^3 + ax^2 + bx有两个极值点x_1x_2,且x_1 < x_2,若x_1 + 2x_0 = 3x_2,函数g(x) = f(x) - f(x_0),则g(x) (   )

A. 恰有一个零点

B. 恰有两个零点

C. 恰有三个零点

D. 至多两个零点


分析与解    g(x)即把f(x)上下平移|f(x_0)|个单位得到(若f(x_0) > 0,向下平移;若f(x_0) < 0,向上平移),因此要考察f(x_0)的值。

由三次项系数为1知,x_1为极大值点,x_2为极小值点。

又由x_1 + 2x_0 = 3x_2得:2(x_0 - x_2) = x_2 - x_1,因此由三次函数的性质知,f(x_0) = f(x_1),故平移后,x_1x_0都恰好是g(x)的零点,且g(x)只有这两个零点。选B


推广    三次函数极值点的一个性质

    如图,若f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d有两个极值点x_1x_2,且x_1 < x_2。设方程f(x) = f(x_1)的不同于x_1的另一个根为x_3,方程f(x) = f(x_2)的另一个不同于x_2的根为x_4,则有

    \[2(x_3 - x_2) = 2(x_1 - x_4)= x_2 - x_1\]


证明    x_1x_2是方程:f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c 的两个根。由3ax_1^2 + 2bx_1 + c =0得:c = -3ax_1^2 - 2bx_1

f(x) = f(x_1),即ax^3 + bx^2 + cx + d = ax_1^3 + bx_1^2 + cx_1 + d

移项得:

    \[(x - x_1) \left[a(x^2 + x_1x + x_1^2) + b(x+x_1) + c\right] = 0 \]

由于x_3 \ne x_1,两边消去x-x_1,整理得

    \[ ax^2 + (ax_1 + b)x +ax_1^2 + bx_1 + c = 0 \]

代入c

    \[ ax^2 + (ax_1 + b)x -2ax_1^2 - bx_1 = 0 \]

显然x_1也满足这个方程,故x_1 + x_3 = - \dfrac{ax_1 + b}{a} = -x_1 - \dfrac{b}{a}

\therefore 2x_1 + x_3 = -\dfrac{b}{a},又x_1 + x_2 = -\dfrac{2b}{3a},两式相比得

    \[ \dfrac{2x_1 + x_3}{x_1 + x_2}  = \dfrac32 \]

2(x_3 - x_2) = x_2 - x_1。同理可证2(x_1 - x_4) = x_2 - x_1

原文链接:,转发请注明文章来自宝鸡中学生

发表评论