数列中的恒成立问题

恒成立与有解问题,即任意性与存在性问题,常见的处理方法是先分离参数,再转化成求函数的最值问题。本道例题把数列与恒成立问题结合起来,基本思路与方法是一样的。


1.已知等差数列\left\{ a_n \right\}的首项为1,公差为2,若a_1a_2 - a_2a_3 + a_3a_4 - a_4a_5 + \cdots - a_{2n}a_{2n+1} \ge t \cdot n^2n \in N^*恒成立,则实数t的取值范围是(   )

A.(-\infty,10)

B.(0,12)

C.(-\infty,-12]

D.(1,10)

分析    条件中的不等式左侧,符号正负相间出现,故考虑两两分组,共分成n组来考虑。

      令b_n = a_{2n-1}a_{2n} - a_{2n}a_{2n+1},则原不等式左侧就是其前n项和S_n

a_n = 2n-1得,b_n = a_{2n}(a_{2n-1} - a_{2n+1}) =(4n - 1)\times (-4) =-16n+4

\therefore b_1 = -12S_n = \dfrac{n(b_1 + b_n)}{2} = -8n^2-4n

S_n \ge tn^2,即t \le \dfrac{-8n^2-4n}{n^2} =-\dfrac{4}{n} - 8恒成立。

\because f(n) = -\dfrac{4}{n} - 8关于n单调递增,故最小值为f(1) = -12\therefore t \le -12。选C

小结    恒成立问题通常按以下2个步骤处理:

(1) 分离参数

(2) 求最值

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