多元化一元

利用等量关系消元,把多元函数化为一元函数,是处理函数问题的常用手段。


1. 已知函数f(x) = \ln \dfrac{1}{2x} - ax^2 + x

(1) 讨论函数f(x)的极值点个数;

(2) 若f(x)有两个极值点x_1x_2,证明f(x_1) + f(x_2) > 3 - 4\ln 2


分析与解    f'(x) = -\dfrac{1}{x} - 2ax + 1 = \dfrac{-2ax^2 + x - 1}{x}

(1) 由于a在二次项系数位置,且\Delta = 1 - 8a,故以0\dfrac18为界对a进行分类讨论:

① 当a \le 0时,有1个极小值;

② 当0 < a < \dfrac{1}{8}时,一个极小值,一个极大值,共2个极值点;

③ 当a \ge \dfrac18时,无极值点。


(2) 由(1)知:0 < a < \dfrac18,且\begin{cases} -2ax_1^2 + x_1 -1 = 0 \cdots (1) \\ -2ax_2^2 + x_2 -1 = 0 \cdots (2) \end{cases}

(1)+(2)得:-a(x_1^2 + x_2^2) = 1 - \dfrac{x_1 + x_2}{2} \cdots (3)

\begin{cases}-2ax_1^2 = 1 - x_1 \\ -2ax_2^2 = 1 - x_2 \end{cases},两式相比得:\dfrac{x_1^2}{x_2^2} = \dfrac{1-x_1}{1-x_2},化简得:x_1 + x_2 = x_1x_2

x_1 + x_2 = x_1x_2 = t,∵x_1x_2是一元二次方程-2ax^2 + x - 1 = 0的两个根,∴t = x_1 + x_2 = \dfrac{1}{2a} > 4


f(x_1) + f(x_2) = -\ln 2x_1 - ax_1^2 + x_1 - \ln 2x_2 - ax_2^2 + x_2

代入(3)式消去a

f(x_1) + f(x_2) = -\ln (4x_1x_2) + \dfrac{x_1 + x_2}{2} + 1

= - \ln t + \dfrac{t}{2} - \ln 4 + 1

g(t) = - \ln t + \dfrac{t}{2} - \ln 4 + 1 \,\, (t>4)

g'(t) = \dfrac{t-2}{2t} > 0,故g(t)单调递增,\therefore g(t) > g(4) = 3 -4 \ln 2


小结:    在f(x_1) + f(x_2)的式子中,有x_1x_2a共3个变量,本题的核心思路是利用\begin{cases} -2ax_1^2 + x_1 -1 = 0\\ -2ax_2^2 + x_2 -1 = 0 \end{cases}进行消元,消元的目的就是化为单元函数。

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