不变的角(圆周角)

我们知道,同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等。这个性质常用来解决一条线段所对的角不变时有关的最值问题。


如图,扇形空地AOB的圆心角为60^\circ,半径为R,园艺师要在这块空地上修建一个矩形草坪CDEF,使其两个顶点D、E在劣弧AB上,另外两个顶点C、F分别在线段OA、OB上,求矩形草坪面积的最大值。

分析与解    显然S = 4S_{\triangle EHF} = 4S_{\triangle EOF}。而在\triangle EOF中,EO = R为定值,\angle EFO = 150^\circ也为定值。

故在以EO为弦的圆O'中,劣弧EO所对的圆心角为60^\circ,点F是在劣弧EO上的动点。

显然当F在劣弧EO中点时,\triangle EOF的面积最大。

此时,S = 4S_{\triangle EOF} = 4 \times \dfrac12 \times R \times \left( R - \dfrac{\sqrt3}{2} R \right) = (2-\sqrt3)R^2

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