已知不等式的整数解个数求参数范围

已知不等式的整数解个数求参数范围,以一例说明。


    已知不等式组\begin{cases}x^2-x+a-a^2 < 0 \\ x+2a>1 \end{cases}的整数解恰好有两个,求a的取值范围。

分析    方程x^2-x+a-a^2 = 0的两根大小需要分类讨论,每一种情况下对整数解的存在情况,还需要进行讨论。

      不等式x+2a>1解得x > 1-2a。令x^2-x+a-a^2 = (x-a)[x-(1-a)] = 0,解得x_1 = ax_2 = 1-a,按两根的大小关系分类讨论:

        情形一    a = 1-a,即a = \dfrac12时,不等式x^2-x+a-a^2 < 0无解,舍。

        情形二    a < 1-a,即a<\dfrac12时,不等式x^2-x+a-a^2 < 0的解集为(a,1-a)

        (1) a \le 0时,1-2a \ge 1-a,故不等式组的解集为\varnothing,舍。

        (2) 0 < a < \dfrac12时,1-2a < 1-a,不等式组的解集为(1-2a,1-a),但此时0<1-2a<1-a<1,故在(1-2a,1-a)无整数解,舍。

        情形三    a > 1-a,即a>\dfrac12时,不等式x^2-x+a-a^2 < 0的解集为(1-a,a)。且此时1-2a < 1-a,故原不等式组的解集也为(1-a,a)。此时1-a < \dfrac12 < a,故按照整数解是\left\{-1,0\right\}\left\{0,1\right\}\left\{1,2\right\}进行再分类。

        (1) \begin{cases}-2 \le 1-a < -1 \\ 0 < a \le 1 \end{cases},无解。

        (2) \begin{cases}-1 \le 1-a < 0 \\ 1 < a \le 2 \end{cases},解得1<a \le 2

        (3) \begin{cases}0 \le 1-a < 1 \\ 2 < a \le 3 \end{cases},无解。

        综合以上情形知,a \in (1,2]

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