直线与椭圆、双曲线相切

直线与椭圆、双曲线相切,有一个常见的结论,举一例说明其应用。


1. 已知椭圆\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 \, (a>b>0)及圆O:x^2+y^2 = a^2,如图过点B(0,a)与椭圆相切的直线l交圆于点A,若\angle AOB = 60^\circ,则椭圆的离心率为(   )

A.\dfrac{\sqrt3}{3}    B.\dfrac12    C.\dfrac{\sqrt3}{2}    D.\dfrac13

分析与解    由OA = OB,且\angle AOB = 60^\circ 知,\triangle AOB为正三角形,直线AB的倾斜角为30^\circ,从而直线AB的斜率为k = \dfrac{\sqrt3}{3}AB\dfrac{\sqrt3}{3}x - y + a = 0

AB与椭圆相切得:\dfrac13 a^2 + b^2 = a^2,∴b^2 = \dfrac23 a^2c^2 = \dfrac13 a^2

e = \dfrac{\sqrt3}{3}。选A


小结    

一、直线Ax+By+C = 0与椭圆\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 \, (a>b>0)的位置关系

(1) A^2a^2 + B^2b^2 = C^2 \Leftrightarrow 直线与椭圆相切;

(2) A^2a^2 + B^2b^2 > C^2 \Leftrightarrow 直线与椭圆有两个交点;

(3) A^2a^2 + B^2b^2 < C^2 \Leftrightarrow 直线与椭圆没有交点。

二、直线Ax+By+C = 0与双曲线\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1 \, (a>0,b>0)的位置关系

(1) A^2a^2 - B^2b^2 = C^2 \Leftrightarrow 直线与双曲线相切;

(2) A^2a^2 - B^2b^2 < C^2 \Leftrightarrow 直线与双曲线有两个交点;

(3) A^2a^2 - B^2b^2 > C^2 \Leftrightarrow 直线与双曲线没有交点。

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