已知中线长

解三角形中,已知中线长度,这个条件不是很常见,举1例说明用法。


1. 在\triangle ABC中,内角ABC的对边分别为abc,若b = a \cos C + c \sin ABC边上的中线长为\dfrac12,则a的最小值为(   )

A.\dfrac{\sqrt2 - 1}{2}    B.\sqrt2 - 1    C.2\sqrt2 - 2    D. 3-2\sqrt2


分析与解1    因为b = a \cos C + c \cos A,又由条件 b = a \cos C + c \sin A,故\cos A = \sin AA = \dfrac{\pi}{4}

\triangle ABC

    \[a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A = b^2 + c^2 - \sqrt2 bc \cdots (1)\]

设中线为AD,在\triangle ABD中,

    \[c^2 = \left( \dfrac12 \right)^2 + \left( \dfrac{a}{2} \right)^2 - 2 \cdot \dfrac12 \cdot \dfrac{a}{2} \cdot \cos \angle ADB \cdots (2)\]

\triangle ACD中,

    \[b^2 = \left( \dfrac12 \right)^2 + \left( \dfrac{a}{2} \right)^2 - 2 \cdot \dfrac12 \cdot \dfrac{a}{2} \cdot \cos (\pi - \angle ADB) \cdots (3)\]

(2)+(3)得:

    \[ b^2 + c^2 = 2\left( \dfrac14 + \dfrac{a^2}{4} \right) = \dfrac12 + \dfrac{a^2}{2}\]

代入(1)式得

    \[ 2bc = \dfrac{\sqrt2}{2} - \dfrac{\sqrt2 a^2}{2} \]

由于2bc \le b^2 + c^2,故

    \[\dfrac{\sqrt2}{2} - \dfrac{\sqrt2 a^2}{2} \le \dfrac12 + \dfrac{a^2}{2}\]

解得a \ge \sqrt2 - 1。选B

拓展:中线长定理    以上方法中的(2)+(3)得到的结论具有普遍性,即b^2 + c^2 = 2\left( AD^2 + \left( \dfrac{a}{2} \right)^2 \right)。称为中线长定理


分析与解2    在AD的延长线上取一点E,使AD = DE,连接BE。易证\triangle ADC \cong \triangle EDB

\therefore \angle BED = \angle CAD\therefore \angle BAD + \angle BED = \angle BAD + \angle CAD = 45^\circ\therefore \angle ABE = 135^\circ

因此B在以AE为弦,且AE所对的圆心角为90^\circ的圆O的劣弧AE上,由AE = 2AD = 1得,r = \dfrac{\sqrt2}{2}

显然当点B在劣弧AE中点时,BD最短。此时

    \[ BD = r - DO = \dfrac{\sqrt2}{2} - \dfrac12 \]

BC的最小值为\sqrt2 - 1。选B

原文链接:,转发请注明文章来自宝鸡中学生

发表评论