最小角定理与最大距离

过平面的斜线和它在平面内的射影所成的角,是这条斜线和这个平面内任一条直线所成的角中最小的角。本博文举一例说明该定理的应用。


1. 已知直线l \bot平面\alpha,垂足为O,三角形ABC的三边分别为BC=1AC=2AB= \sqrt5。若A \in lC \in \alpha,则BO的最大值为\underline{\hbox to 10mm{}}


分析与解    Al上的位置在动(即\angle OAC在变化),B的位置也在动。我们先分析对于某一特定的\angle OACB在何处时BO最大。

如图,点B的运动轨迹是在与AC垂直的平面上(设该平面为\beta),以C为圆心,以1为半径的圆。

由于AC \bot \beta,故OC\beta上的射影CB'在平面AOC上。由最小角定理知,\angle OCB'是所有\angle BCB中最小的角。

B'关于C对称的点为B'',故\angle OCB''是所有\angle OCB中最大的角,且B''也在平面AOC上。


由余弦定理知:OB^2 = CO^2 + CB^2 - 2CO \cdot CB \cdot \cos \angle OCB,故当BB''处时,OB最大。

即当AOCB共面时OB最大。


接下来,分析当\anlge OAC为何值时,OB最大。

如图,由于AO \bot OC,故点O在以AC为直径的圆E上,显然当OB经过点E时,OB最大。

\because EC = CB = 1\therefore EB = \sqrt2\therefore OB_{max} = 1 + \sqrt2

原文链接:,转发请注明文章来自宝鸡中学生

发表评论