过平面的斜线和它在平面内的射影所成的角,是这条斜线和这个平面内任一条直线所成的角中最小的角。本博文举一例说明该定理的应用。
1. 已知直线平面
,垂足为O,三角形ABC的三边分别为
,
,
。若
,
,则BO的最大值为
。
分析与解 在
上的位置在动(即
在变化),
的位置也在动。我们先分析对于某一特定的
,
在何处时
最大。
如图,点的运动轨迹是在与
垂直的平面上(设该平面为
),以
为圆心,以
为半径的圆。
由于,故
在
上的射影
在平面
上。由最小角定理知,
是所有
中最小的角。
令关于
对称的点为
,故
是所有
中最大的角,且
也在平面
上。
由余弦定理知:,故当
在
处时,
最大。
即当、
、
、
共面时
最大。
接下来,分析当为何值时,
最大。
如图,由于,故点
在以
为直径的圆E上,显然当
经过点
时,
最大。
,
,
。