高三数学培优周练3

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高三数学培优周练3。微专题:函数的周期性与对称性。


选择填空提高训练


1(函数:任意性与存在性)已知函数f(x) = \begin{cases} x+k(1-a^2),\, x \ge 0 \\ x^2-4x+(3-a)^2,\, x<0 \end{cases},其中a \in \mathcal{R}。若对任意的非零实数x_1,存在唯一的非零实数x_2\,(x_1 \ne x_2),使得f(x_1) = f(x_2)成立,则k的取值范围是(   )

A.(-\infty,0]   B.[8,+\infty)   C.[0,8]   D.(-\infty,0] \cup [8,+\infty)


2(圆锥曲线:焦点三角形)点F_1F_2分别是双曲线x^2 - \dfrac{y^2}{3} = 1的左、右焦点,点P在该双曲线上,\triangle PF_1F_2的内切圆半径r的取值范围是\underline{\hbox to 10mm{}}


3(立体几何:圆锥截面)在正方体ABCD-A_1B_1C_1D_1中,点MN分别是直线CDAB上的动点,点P\triangle A_1C_1D内的动点(不包括边界),记直线D_1PMN所成角为\theta,若\theta的最小值为\dfrac{\pi}{3},则点P的轨迹是(   )

A.圆的一部分

B.椭圆的一部分

C.抛物线的一部分

D.双曲线的一部分


4(平面向量:加减运算)如图,在平面直角坐标系xOy中,O为正八边形A_1A_2\cdots A_8的中心,A_1(1,0)。任取不同的两点A_iA_j,点P满足\overrightarrow{OP} + \overrightarrow{OA_i} + \overrightarrow{OA_j} = \overrightarrow{0},则点P落在第一象限的概率是\underline{\hbox to 10mm{}}


5(三角函数:图像)已知函数f(x) = \sin (\omega x + \varphi)\,\left( \omega > 0, |\varphi| \le \dfrac{\pi}{2} \right)x = -\dfrac{\pi}{4}f(x)的零点,x = \dfrac{\pi}{4}y=f(x)图像的对称轴,且f(x)\left( \dfrac{\pi}{18},\dfrac{5\pi}{36} \right)单调,则\omega的最大值为(   )

A.11   B.9   C.7   D.5


6(数列:恒成立)已知数列\left\{ a_n \right\}中,a_1 = 2n \left( a_{n+1} - a_n \right) = a_n + 1n \in N^*。若对任意的a \in [-2,2],不等式\dfrac{a_{n+1}}{n+1} < 2t^2 + at - 1恒成立,则t的取值范围为\underline{\hbox to 10mm{}}


微专题:函数的周期性与对称性


1. 若y=f(x)是定义在\mathcal{R}上的函数,且满足:(1) f(x)是偶函数;(2) f(x+2)是偶函数;(3) 当0<x \le 2时,f(x) = \log _{2017} x,当x=0时,f(x) = 0,则方程f(x) = -2017在区间(1,10)内的所有实数根之和为\underline{\hbox to 10mm{}}


2. 已知定义在\mathcal{R}上的函数y = f(x)满足条件f(x+4) = -f(x),且函数y = f(x+2)是偶函数,当x \in (0,2]时,f(x) = \ln x - ax \, \left( a> \dfrac{1}{2} \right),当x \in [-2,0)时,f(x)的最小值为3,则a的值等于(   )

A.e^2   B.e    C.2    D.1


3. 函数f(x) = \left( \dfrac12 \right) ^{|x-1|} + 2 \cos \pi x \, (-2 \le x \le 4)的所有零点之和等于\underline{\hbox to 10mm{}}


4. 已知函数f(x) \, (x \in \mathcal{R})满足f(-x) = 2 - f(x),若函数y = \dfrac{x+1}{x}y = f(x)的图像的交点为(x_1,y_1)(x_2,y_2)\cdots(x_m,y_m),则\sum\limits_{i = 1}^m {\left( {{x_i} + {y_i}} \right)}  =(   )

A.0    B.m    C.2m    D.4m


5. 函数f(x) = x^3 + \sin x + 1,则f(-2015) + f(-2014) + \cdots + f(2014) + f(2015) = \underline{\hbox to 10mm{}}


6. 已知定义在\mathcal{R}上的奇函数f(x)的图像关于直线x=1对称,f(-1) = 1,则\sum\limits_{i=1}^{2015} {f(i)} = \underline{\hbox to 10mm{}}


7. 已知f(x) 是定义在\mathcal{R}上的函数,且对任意x \in \mathcal{R}都有f(x+2) = f(2-x) + 4f(2),若函数y = f(x+1)的图像关于点(-1,0)对称,且f(1) = 3,则f(2015) = \underline{\hbox to 10mm{}}


8. 已知f(x)是定义在R上的偶函数,当x \ge 0时,有f(x+1) = -f(x),且当x \in [0,1)时,f(x) = \log _2 (x+1),给出下列命题:

(1) f(2013) + f(2014)的值为0;

(2) 函数f(x)在定义域上为周期是2的周期函数;

(3) 直线y=x与函数f(x)的图像有1个交点;

(4) 函数f(x)的值域为(-1,1)

其中正确命题的序号有\underline{\hbox to 10mm{}}


参考答案


一、选择填空提高训练

1. D;   2. \left( 0 , \sqrt3 \right);   3.B;   4.\dfrac{5}{28};   5. B;   6. (-\infty, -2] \cup [2, +\infty)

二、微专题:函数的周期性与对称性

1.24;   2. A;   3. 6;   4. B;   5. 4031;   6. 0;   7. -3;   8. (1)(3)(4)

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