高三数学培优周练5

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高三数学培优周练5。微专题:点差法与定比点差法-2。


选择填空提高训练


1(函数:复合不等式整数解)已知函数f(x) = \begin{cases} -x^2 + 2x, \, x \ge 0 \\ x^2 - 2x, \, x<0 \end{cases},若关于x的不等式[f(x)]^2 + af(x) < 0 恰有1个整数解,则实数a的最大值为\underline{\hbox to 10mm{}}


2(圆锥曲线:离心率,角平分线定理)已知双曲线\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1\,(a>0,b>0)F_1F_2分别是双曲线的左右焦点,P是双曲线右支上一点,圆IF_1P的延长线,线段F_2PF_1F_2的延长线均相切。连接PI并延长交x轴于点D,若S_{\triangle PIF_1} : S_{\triangle DIF_1} = 1:2,那么该双曲线的离心率为(   )

A. \sqrt2    B.\sqrt3    C.2    D.\sqrt5


3(立体几何:最小角定理)已知直线l \bot平面\alpha,垂足为O,三角形ABC的三边分别为BC = 1AC = 2AB = \sqrt5。若A \in lC \in \alpha,则BO的最大值为\underline{\hbox to 10mm{}}


4(向量:等和线)在平面直角坐标系xOy中,已知点P在曲线E:y = \sqrt{1 - \dfrac{x^2}{4}} \, (x \ge 0)上,曲线E与x轴相交于点B,与y轴相交于点C,点D(2,1)和点E(1,0)满足\overrightarrow{OD} =\lambda \overrightarrow{CE} + \mu \overrightarrow{OP} (\lambda , \mu \in \mathcal{R}),则\lambda + \mu的最小值为\underline{\hbox to 10mm{}}


5(三角:解三角形)在\triangle ABC中,内角ABC的对边分别为abc,若b = a \cos C + c \sin ABC边上的中线长为\dfrac12,则a的最小值为(   )

A.\dfrac{\sqrt2 - 1}{2}    B.\sqrt2 - 1    C.2\sqrt2 - 2    D. 3-2\sqrt2


6(数列:单调性)设\triangle A_nB_nC_n的三边分别为a_nb_nc_n\triangle A_nB_nC_n的面积为S_nn = 1,2,3,\cdots。若b_1 > c_1b_1 + c_1 = 2a_1a_{n+1} = a_nb_{n+1} = \dfrac{c_n + a_n}{2}c_{n+1} = \dfrac{b_n + a_n}{2},则(   )

A. \left\{ S_n \right\}为递减数列

B. \left\{ S_n \right\}为递增数列

C.\left\{ S_{2n-1} \right\}为递增数列,\left\{ S_{2n} \right\}为递减数列

D.\left\{ S_{2n-1} \right\}为递减数列,\left\{ S_{2n} \right\}为递增数列


微专题:点差法与定比点差法-2


1. 过点P(3,1)的动直线l与双曲线C:\dfrac{x^2}{3} - y^2 = 1的左、右两支分别交于点AB,在线段AB上取不同于AB的点Q,满足|AP| \cdot |QB| = |AQ| \cdot |PB|,求证:点Q总在某条定直线上。


2. 已知椭圆\dfrac{x^2}{4} + \dfrac{y^2}{3} = 1,点P(4,0),过点P作椭圆的割线PABCB关于x轴的对称点。求证:直线AC恒过定点。


3. 已知椭圆C:x^2 + 3y^2 = 3,过点D(1,0)且不过点E(2,1)的直线与椭圆C交于AB两点,直线AE与直线x=3交于点M。试判断直线BM与直线DE的位置关系,并说明理由。


4. 设F_1F_2分别为椭圆\dfrac{x^2}{3} + y^2 = 1的左、右焦点,点AB在椭圆上,且\overrightarrow{F_1A} = 5\overrightarrow{F_2B},则点A的坐标是\underline{\hbox to 10mm{}}


5. 设D(0,16)MN是椭圆\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{16} = 1 上的两个动点(可以重合),且\overrightarrow{DM} = \lambda \overrightarrow{DN},求实数\lambda的取值范围。


参考答案


一、选择提空提高训练

1. 8;    2. C;    3. \sqrt2 + 1    4. \dfrac12    5. B    6. B

第2题参考:离心率:有关旁心与角平分线定理

第3题参考:最小角定理与最大距离

第5题参考:已知中线长

二、微专题:点差法与定比点差法-2

1. 在x-y-1=0上;    2. 恒过 (1,0)    4. (0,1)(0,-1)    5. \left[ \dfrac35, \dfrac53 \right]

特别感谢:本博文微专题题目主要选自兰琦老师的博客:http://lanqi.org/,在此致谢!

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