高三数学培优周练5

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选择填空提高训练
微专题：点差法与定比点差法-2
参考答案

高三数学培优周练5。微专题：点差法与定比点差法-2。

选择填空提高训练

1（函数：复合不等式整数解）已知函数 $f(x) = \begin{cases} -x^2 + 2x, \, x \ge 0 \\ x^2 - 2x, \, x<0 \end{cases}$ ，若关于 $x$ 的不等式 $[f(x)]^2 + af(x) < 0$ 恰有1个整数解，则实数 $a$ 的最大值为 $\underline{\hbox to 10mm{}}$ 。

2（圆锥曲线：离心率，角平分线定理）已知双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1\,(a>0,b>0)$ ， $F_1$ ， $F_2$ 分别是双曲线的左右焦点， $P$ 是双曲线右支上一点，圆 $I$ 与 $F_1P$ 的延长线，线段 $F_2P$ ， $F_1F_2$ 的延长线均相切。连接 $PI$ 并延长交 $x$ 轴于点 $D$ ，若 $S_{\triangle PIF_1} : S_{\triangle DIF_1} = 1:2$ ，那么该双曲线的离心率为（）

$A. \sqrt2$ $B.\sqrt3$ $C.2$ $D.\sqrt5$

3（立体几何：最小角定理）已知直线 $l \bot$ 平面 $\alpha$ ，垂足为 $O$ ，三角形 $ABC$ 的三边分别为 $BC = 1$ ， $AC = 2$ ， $AB = \sqrt5$ 。若 $A \in l$ ， $C \in \alpha$ ，则 $BO$ 的最大值为 $\underline{\hbox to 10mm{}}$ 。

4（向量：等和线）在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知点 $P$ 在曲线E： $y = \sqrt{1 - \dfrac{x^2}{4}} \, (x \ge 0)$ 上，曲线E与 $x$ 轴相交于点 $B$ ，与 $y$ 轴相交于点 $C$ ，点 $D(2,1)$ 和点 $E(1,0)$ 满足 $\overrightarrow{OD} =\lambda \overrightarrow{CE} + \mu \overrightarrow{OP}$ $(\lambda , \mu \in \mathcal{R})$ ，则 $\lambda + \mu$ 的最小值为 $\underline{\hbox to 10mm{}}$ 。

5（三角：解三角形）在 $\triangle ABC$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $b = a \cos C + c \sin A$ ， $BC$ 边上的中线长为 $\dfrac12$ ，则 $a$ 的最小值为（）

$A.\dfrac{\sqrt2 - 1}{2}$ $B.\sqrt2 - 1$ $C.2\sqrt2 - 2$ $D. 3-2\sqrt2$

6（数列：单调性）设 $\triangle A_nB_nC_n$ 的三边分别为 $a_n$ ， $b_n$ ， $c_n$ ， $\triangle A_nB_nC_n$ 的面积为 $S_n$ ， $n = 1,2,3,\cdots$ 。若 $b_1 > c_1$ ， $b_1 + c_1 = 2a_1$ ， $a_{n+1} = a_n$ ， $b_{n+1} = \dfrac{c_n + a_n}{2}$ ， $c_{n+1} = \dfrac{b_n + a_n}{2}$ ，则（）

$A. \left\{ S_n \right\}$ 为递减数列

$B. \left\{ S_n \right\}$ 为递增数列

$C.\left\{ S_{2n-1} \right\}$ 为递增数列， $\left\{ S_{2n} \right\}$ 为递减数列

$D.\left\{ S_{2n-1} \right\}$ 为递减数列， $\left\{ S_{2n} \right\}$ 为递增数列

微专题：点差法与定比点差法-2

1. 过点 $P(3,1)$ 的动直线 $l$ 与双曲线C： $\dfrac{x^2}{3} - y^2 = 1$ 的左、右两支分别交于点 $A$ ， $B$ ，在线段 $AB$ 上取不同于 $A$ ， $B$ 的点 $Q$ ，满足 $|AP| \cdot |QB| = |AQ| \cdot |PB|$ ，求证：点 $Q$ 总在某条定直线上。

2. 已知椭圆 $\dfrac{x^2}{4} + \dfrac{y^2}{3} = 1$ ，点 $P(4,0)$ ，过点 $P$ 作椭圆的割线 $PAB$ ， $C$ 为 $B$ 关于 $x$ 轴的对称点。求证：直线 $AC$ 恒过定点。

3. 已知椭圆C： $x^2 + 3y^2 = 3$ ，过点 $D(1,0)$ 且不过点 $E(2,1)$ 的直线与椭圆C交于 $A$ ， $B$ 两点，直线 $AE$ 与直线 $x=3$ 交于点 $M$ 。试判断直线 $BM$ 与直线 $DE$ 的位置关系，并说明理由。

4. 设 $F_1$ ， $F_2$ 分别为椭圆 $\dfrac{x^2}{3} + y^2 = 1$ 的左、右焦点，点 $A$ 、 $B$ 在椭圆上，且 $\overrightarrow{F_1A} = 5\overrightarrow{F_2B}$ ，则点 $A$ 的坐标是 $\underline{\hbox to 10mm{}}$ 。

5. 设 $D(0,16)$ ， $M$ ， $N$ 是椭圆 $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{16} = 1$ 上的两个动点（可以重合），且 $\overrightarrow{DM} = \lambda \overrightarrow{DN}$ ，求实数 $\lambda$ 的取值范围。