初速度为零的匀加速直线运动

初速度为零的匀加速直线运动,有一些常用的结论,和处理技巧。本文选2道宝鸡中学高一考试卷的题目予以距离说明。


1. 从一座塔顶自由落下一石子,忽略空气阻力,如果已知重力加速度大小,再知下列哪项条件即可求出塔顶高度(   )

    A.最后1m内下落时间

    B.1s末和第2s末速度

    C.最初1s内下落高度

    D.最后1s内下落高度

    分析    BC选项显然和塔高没有关系,排除法选AD

    解      对A,设塔高为h,由\dfrac{1}{2}gt^2 = h,解得t = \sqrt{\dfrac{2h}{g}}。前(h-1)m,用时t_1 = \sqrt{\dfrac{2(h-1)}{g}}。故

    \[ \sqrt{\dfrac{2h}{g}} - \sqrt{\dfrac{2(h-1)}{g}} = t_0 \]

其中t_0表示最后1m内下落时间。由该方程可以解出h

            对D,设下落总时间为t,最后1s内下落高度为h_0。故

    \[ \dfrac12 gt^2 - \dfrac12 g(t-1)^2 = h_0 \]

由该方程解出t,再由h = \dfrac12 g t^2解出塔高。

    小结    对于初速度为零的匀加速直线运动,一般选择从v=0时刻最为过程的起始时刻进行分析计算。


2. 如图所示,一颗子弹以速度v垂直进入三个相同的矩形区域做匀减速运动,且刚要离开第三个矩形区域时速度恰好为\dfrac{v}{2},则子弹依次进入每个矩形区域时的速度之比为\underline{\hbox to 10mm{}},子弹穿过每个矩形区域所用的时间之比分别是\underline{\hbox to 10mm{}}

    分析    尝试把问题转化为初速度为零的匀加速直线运动,并利用结论解题。

          设每个矩形区域宽为s,设再经过材料相同的宽为x的矩形区域后,速度变为0。则

    \[ \begin{cases}v^2 - \left( \dfrac{v}{2} \right)^2 &= 2a \cdot 3s \\ \left( \dfrac{v}{2} \right)^2 &= 2a \cdot x \]

解得x = s。即在原来的区域右侧再加上一个相同宽度的矩形区域后,子弹速度恰好减为0。

            逆向思考,子弹从这四块区域右侧,从静止开始作匀加速直线运动。则经过相同宽度区域后的速度之比为1:\sqrt2 : \sqrt3 : 2 \cdots,依次经过每个区域的时间之比为1: (\sqrt2 -1):(\sqrt3 - \sqrt2):(2 - \sqrt3)

            故本题应填:2:\sqrt3:\sqrt2(2-\sqrt3):(\sqrt3 - \sqrt2):(\sqrt2 - 1)


    小结    初速度为零的匀加速直线运动,有以下结论(请自行推导):

            1. 经1T2T\cdotsnT后的速度之比:v_1:v_2:\cdots:v_n = 1:2:\cdots:n

            2. 经1T2T\cdotsnT后的位移之比:x_1:x_2:\cdots:x_n = 1:4:\cdots:n^2

            3. 第1T,第2T\cdots,第nT内的位移之比:x_1:x_2:\cdots:x_n = 1:3:\cdots:(2n-1)

            4. 经1L,2L\cdotsnL后的速度之比:v_1:v_2:\cdots:v_n = 1:\sqrt2:\cdots:\sqrtn

            5. 经1L,2L\cdotsnL的时间之比:t_1:t_2:\cdots:t_n = 1:\sqrt2:\cdots:\sqrtn

            6. 经过第1L,第2L\cdots,第nL的时间之比:t_1:t_2:\cdots:t_n = 1:(\sqrt2-1):\cdots:(\sqrt{n} -\sqrt{n-1})

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