天体运动:四星系统

天体运动中的多星系统问题的求解方法仍然是建立万有引力方程和牛顿第二定律方程,本文以1道四星系统为例说明一个需要特别引起注意的易错点。


(宝中2017届复习题)宇宙中存在着这样一种四星系统,这四颗星的质量相等,远离其他恒星,因此可以忽略其他恒星对它们的作用,四颗星稳定地分布在一个正方形的四个定点上,且均围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动。假设每颗星的质量为m,正方形的边长为L,每颗星的半径为R,引力常量为G,则(   )

A.每颗星做圆周运动的半径为\dfrac{L}{2}

B.每颗星做圆周运动的向心力大小为\dfrac{(1+\sqrt2)Gm^2}{2L^2}

C.每颗星表面的重力加速度为\dfrac{Gm}{R^2}

D.每颗星做圆周运动的周期为2\pi L \sqrt{\dfrac{\sqrt2 L}{(2+2\sqrt2)Gm}}

分析与解    如图:

    各星体的轨道半径均为\dfrac{\sqrt2}{2}LA错。

    对处于B处的星体,F_{AB} = F_{CB} = \dfrac{Gm^2}{L^2}F_{DB} = \dfrac{Gm^2}{(\sqrt2 L)^2} =\dfrac{Gm^2}{2L^2}

\therefore \sum F = F_{AB}\cos 45^\circ + F_{CB}\cos 45^\circ +F_{DB} =\dfrac{(2\sqrt2 +1)Gm^2}{2L^2}B错。

    由\dfrac{Gm}{R^2} = g知,C正确。

    由万有引力提供向心力:\dfrac{(2\sqrt2 +1)Gm^2}{2L^2} = m\dfrac{4\pi^2}{T^2}\cdot \dfrac{\sqrt2}{2}L,解得T = 2\pi L \sqrt{\dfrac{\sqrt2 L}{(2+2\sqrt2)Gm}}D正确。

    故选CD

小结    万有引力公式F = \dfrac{GMm}{R^2}中的R是两个物体(重心)之间的距离,而向心力公式F = m\omega^2 R = \dfrac{mv^2}{R}中的R是圆周运动的轨道半径。对于绕某一个中心天体做匀速圆周运动的卫星而言,这两个R正好是相等的,但是对于多星系统,这两个R往往不同。如本道题,万有引力F_{AB}F_{CB}的“R”等于L,万有引力F_{DB}的“R”等于\sqrt2 L;而各星体的轨道半径都是\dfrac{\sqrt2}{2}L。这点需要引起格外注意。

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