天体运动:隐秘的周期

绕同一个天体运行的两颗卫星,它们的周期之比可由半径之比得出。举1例宝中2017届高考复习题说明。


    已知月球半径为R,飞船在距月球表面高度为R的圆轨道上匀速飞行,周期为T,引力常量为G,下列说法中正确的是(   )

A.月球的第一宇宙速度为\dfrac{4\pi R}{T}

B.月球表面的重力加速度为\dfrac{8\pi^2}{T^2}R

C.月球的密度为\dfrac{3\pi}{GT^2}

D.月球的质量为\dfrac{32\pi^2R^3}{GT^2}

分析与解    由\dfrac{GMm}{r^2} = m\dfrac{4\pi^2}{T^2}r,解得\T^2 = \dfrac{4\pi^2r^3}{GM},其中r为卫星的轨道半径。

    所以\dfrac{T_1}{T} = \sqrt{\dfrac{R^3}{(2R)^3}} = \dfrac{\sqrt2}{4}。其中T_1为近月卫星的运行周期。

    (1) v_1 = \dfrac{2\piR}{T_1} = \dfrac{4\sqrt2 \pi R}{T}A错误。

    (2) g = \dfrac{4\pi^2}{T_1^2}R = \dfrac{32\pi^2}{T^2}RB错误。

    (3) \dfrac{GM}{R^2} = \dfrac{4\pi^2}{T_1^2}R = \dfrac{32\pi^2}{T^2}R,故M = \dfrac{32\pi^2 R^3}{GT^2}D正确。\rho = \dfrac{M}{\dfrac43\pi R^3} =\dfrac{24\pi}{GT^2}C错误。

    故选D

小结    由\dfrac{T^2}{r^3} = \dfrac{4\pi^2}{GM}知,绕同一个中心天体运动,处于两个不同轨道的卫星,他们的周期之比与半径之比可以互算。

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